Ce que demande cette question

Dans cette huitième question de l'épreuve de raisonnement logique et mathématique du concours ACCÈS 2017, vous êtes confronté à l'étude complète d'une fonction faisant intervenir le logarithme népérien et une racine carrée. L'énoncé vous donne l'expression analytique de la fonction sur l'intervalle des réels strictement positifs. À partir de cette unique donnée, vous devez analyser quatre affirmations indépendantes mais complémentaires. La première proposition vous demande de vérifier l'expression de la fonction dérivée, ce qui implique d'appliquer rigoureusement les formules de dérivation d'un quotient. La deuxième affirmation vous invite à transformer une équation impliquant la fonction initiale pour vérifier si elle est équivalente à une autre expression contenant la fonction exponentielle. La troisième proposition se concentre sur la géométrie de la courbe représentative en vous demandant de déterminer l'équation de la tangente en un point précis du repère. Enfin, la dernière affirmation nécessite d'étudier les variations de la fonction, grâce à la dérivée calculée précédemment, afin de confirmer ou d'infirmer l'existence et la valeur d'un maximum global sur l'intervalle d'étude.

Les notions à maîtriser

• Dérivation d'un quotient : savoir appliquer la formule usuelle pour dériver une fonction de la forme u/v, en incluant la dérivée du logarithme népérien et de la racine carrée.
• Propriétés algébriques : maîtriser les règles de calcul liant le logarithme népérien et la fonction exponentielle pour simplifier ou transformer des équations complexes.
• Équation de la tangente : connaître sur le bout des doigts la formule donnant l'équation de la tangente à une courbe en un point d'abscisse donnée.
• Étude des variations et extremums : être capable de dresser le tableau de signes de la dérivée pour en déduire les variations de la fonction et identifier un éventuel maximum.

Méthode et pièges au concours ACCÈS

Pour réussir cette question typique du concours ACCÈS, la rigueur calculatoire est votre meilleure alliée. Le calcul de la dérivée constitue souvent le point de bascule de l'exercice : une erreur de signe ou une simplification hâtive sur la première affirmation faussera inévitablement votre jugement sur la dernière proposition concernant le maximum de la fonction. Prenez le temps de poser vos calculs au brouillon, en identifiant clairement les termes de votre quotient avant de dériver. Concernant l'affirmation sur l'équivalence d'équations, méfiez-vous des manipulations algébriques rapides. Il est souvent judicieux de partir de l'équation initiale et d'appliquer la fonction exponentielle pour voir si l'on retombe sur l'expression proposée, tout en vérifiant les ensembles de définition. Pour la tangente, n'oubliez pas que le point I du repère orthonormé correspond aux coordonnées usuelles, ce qui vous donne l'abscisse à utiliser dans votre formule. Enfin, gardez toujours à l'esprit les spécificités du barème de l'épreuve de raisonnement logique et mathématiques du concours ACCÈS. Chaque question comporte quatre affirmations qu'il faut évaluer par VRAI ou FAUX. Une mauvaise réponse est lourdement pénalisée par des points négatifs, tandis qu'une absence de réponse ne vous rapporte ni ne vous enlève de points. Si vous avez un doute persistant sur l'une des propositions, par exemple sur la valeur exacte du maximum ou sur la simplification de la dérivée, il est stratégiquement préférable de vous abstenir plutôt que de risquer de perdre les points accumulés sur les affirmations dont vous êtes certain.