Ce que demande cette question

La question 11 de l'épreuve de raisonnement mathématique du concours ACCÈS 2015 vous confronte à l'étude de deux fonctions intimement liées, un grand classique des sujets de concours. L'énoncé définit une fonction auxiliaire g, qui combine un logarithme népérien et une fraction rationnelle. Ensuite, il introduit une fonction f, qui se présente sous la forme d'une fonction puissance où la variable x apparaît à la fois dans la base et dans l'exposant.

Votre objectif est d'évaluer avec précision quatre affirmations portant sur les propriétés analytiques de cette fonction f. Vous devez d'abord vous prononcer sur l'expression de sa dérivée première, en vérifiant si elle correspond à la formule classique des puissances ou si elle nécessite une approche plus complexe. Ensuite, il vous est demandé de valider le domaine de définition de f, une étape cruciale pour toute étude rigoureuse. La troisième affirmation vous invite à établir un lien algébrique direct entre la dérivée de f et la fonction auxiliaire g. Enfin, la dernière proposition porte sur les variations de la fonction dérivée, ce qui implique de s'intéresser à la dérivée seconde ou d'étudier minutieusement le signe de la fonction auxiliaire. Cet exercice évalue votre capacité globale à mener une étude de fonction complète.

Les notions à maîtriser

Pour aborder cette question avec sérénité, vous devez être parfaitement à l'aise avec les concepts mathématiques suivants :

• La transformation des fonctions puissances : savoir réécrire systématiquement une expression de la forme u(x) exposant v(x) en utilisant les propriétés de la fonction exponentielle et du logarithme népérien.
• Les règles de dérivation avancées : maîtriser la dérivation des fonctions composées, notamment l'exponentielle d'une fonction, ainsi que la dérivée d'un produit ou d'un quotient.
• Les ensembles de définition : connaître les restrictions imposées par la fonction logarithme népérien, qui exige un argument strictement positif.
• L'étude des variations : être capable de lier le signe d'une dérivée aux variations de la fonction correspondante, et comprendre l'utilité d'une fonction auxiliaire.

Méthode et pièges au concours ACCÈS

Le concours ACCÈS présente des spécificités qu'il faut impérativement garder à l'esprit lors de votre préparation. Face à une fonction du type u(x) exposant v(x), le piège le plus classique est d'appliquer aveuglément la formule de dérivation des polynômes. Il est indispensable de repasser par la forme exponentielle pour éviter cette erreur fatale qui invaliderait vos réponses liées à la dérivée. Prenez toujours le temps de poser les conditions d'existence au brouillon, car le domaine de définition conditionne la validité de tout l'exercice.

De plus, la gestion du temps est un facteur déterminant. Si le calcul de la dérivée seconde vous semble trop chronophage pour évaluer la dernière affirmation, cherchez des alternatives, comme l'étude directe des variations de la fonction auxiliaire g. N'oubliez jamais le barème de l'épreuve de raisonnement logique et mathématiques : chaque question comporte quatre affirmations. Une erreur est lourdement pénalisée et vous fait perdre des points, tandis qu'une absence de réponse rapporte zéro. Il est donc stratégiquement plus rentable de s'abstenir de répondre à une affirmation dont vous n'êtes pas absolument certain, plutôt que de deviner au hasard. La rigueur et la prudence sont vos meilleurs atouts pour maximiser votre score.