Ce que demande cette question

La question 7 de l'épreuve de raisonnement logique et mathématiques du concours ACCÈS 2015 vous confronte à l'étude approfondie d'une fonction rationnelle définie sur un intervalle ouvert. L'énoncé vous donne l'expression algébrique d'une fonction faisant intervenir un polynôme de degré trois au numérateur et une puissance quatrième au dénominateur. À travers les quatre affirmations proposées, vous devez mener une analyse complète de cette fonction. Il vous est d'abord demandé de vérifier l'expression exacte de sa fonction dérivée première. Ensuite, vous devez utiliser cette dérivée pour identifier la présence éventuelle d'un point critique en une valeur précise et déterminer la nature de ce point, c'est-à-dire vérifier s'il s'agit véritablement d'un maximum local. Les deux dernières affirmations vous orientent vers l'étude de la dérivée seconde. Vous devrez ainsi évaluer l'existence d'un point d'inflexion à une abscisse donnée et analyser la convexité de la fonction sur un intervalle spécifique. Cette question balaye donc l'ensemble des étapes classiques de l'étude des variations et de la courbure d'une fonction.

Les notions à maîtriser

• Calcul de dérivées de fonctions rationnelles : application rigoureuse de la formule de dérivation d'un quotient et maîtrise de la règle de composition pour les puissances.
• Recherche de points critiques et extrema : capacité à annuler une dérivée première et à étudier le changement de signe pour confirmer la présence d'un minimum ou d'un maximum local.
• Dérivée seconde et points d'inflexion : savoir dériver une seconde fois l'expression obtenue et identifier les valeurs pour lesquelles cette dérivée seconde s'annule en changeant de signe.
• Étude de la convexité : lien direct entre le signe de la dérivée seconde sur un intervalle donné et le caractère convexe ou concave de la fonction initiale.

Méthode et pièges au concours ACCÈS

Pour aborder sereinement ce type de question lors du concours ACCÈS, une grande rigueur algébrique est indispensable. Le principal piège réside dans la complexité des calculs de dérivation. Avec un numérateur de degré trois et un dénominateur à la puissance quatre, les erreurs de signe ou de développement sont fréquentes. Il est fortement conseillé de factoriser au maximum vos expressions plutôt que de les développer aveuglément. La factorisation facilite non seulement la simplification de la dérivée première, mais elle est également cruciale pour déterminer son signe et pour calculer la dérivée seconde sans vous perdre dans des polynômes de degré trop élevé. Prenez le temps de poser vos calculs proprement au brouillon.

Gardez toujours à l'esprit les spécificités du barème de l'épreuve de raisonnement logique et mathématiques du concours ACCÈS. Chaque question comporte quatre affirmations qu'il faut évaluer indépendamment. Une mauvaise réponse est lourdement pénalisée, car une erreur vous coûte plus de points qu'une absence de réponse. Si vous parvenez à calculer la dérivée première avec certitude mais que le calcul de la dérivée seconde vous semble trop chronophage ou incertain, il est stratégiquement préférable de ne répondre qu'aux affirmations portant sur les variations et de laisser vierges celles sur la convexité. Ne prenez pas le risque de perdre les points acquis par une déduction hasardeuse. La gestion du temps et la prise de risque mesurée sont les clés de votre réussite.