Ce que demande cette question
Dans cette septième question de l'épreuve de raisonnement logique et mathématiques du concours ACCÈS 2021, vous êtes confronté à un exercice incontournable de l'analyse mathématique : l'exploitation d'un tableau de variations. L'énoncé vous présente une fonction définie sur un intervalle ouvert, allant de zéro à l'infini positif, et vous fournit uniquement son tableau de variations complet. À partir de cette unique représentation schématique, vous devez évaluer la véracité de quatre affirmations distinctes.
La première affirmation vous demande de déterminer le nombre exact de solutions réelles à une équation spécifique, ce qui implique d'analyser les passages par zéro de la fonction sur ses différents intervalles de monotonie. La deuxième affirmation vous interroge sur la valeur de la fonction en un point précis, nécessitant une lecture attentive du domaine de définition. La troisième affirmation porte sur l'équation réduite d'une tangente en un point donné, vous obligeant à faire le lien entre le signe de la dérivée, la croissance de la fonction et le coefficient directeur d'une droite. Enfin, la dernière proposition vous invite à statuer sur le signe de la fonction sur un intervalle restreint, en utilisant les extremums locaux et les limites indiquées dans le tableau.
Les notions à maîtriser
Pour aborder sereinement cette question, vous devez être parfaitement à l'aise avec les concepts fondamentaux de l'analyse de fonctions. Voici les éléments clés à mobiliser :
- Le théorème des valeurs intermédiaires (et son corollaire) : indispensable pour justifier l'existence et l'unicité des solutions d'une équation sur un intervalle où la fonction est continue et strictement monotone.
- La lecture du domaine de définition : savoir identifier les bornes ouvertes ou fermées, et comprendre les implications d'une double barre dans un tableau de variations.
- Le lien entre dérivée et tangente : se rappeler que le nombre dérivé en un point correspond au coefficient directeur de la tangente à la courbe en ce point, et faire le lien avec le sens de variation.
- L'étude du signe d'une fonction : déduire si une fonction est positive ou négative sur un intervalle donné en observant ses minimums, ses maximums et ses limites.
Méthode et pièges au concours ACCÈS
L'épreuve de mathématiques du concours ACCÈS est réputée pour sa rigueur et ses pièges subtils. Face à un tableau de variations, la première erreur à éviter est la précipitation. Prenez toujours le temps de vérifier le domaine de définition avant de lire les valeurs. Par exemple, une fonction définie sur un intervalle ouvert en zéro ne peut pas posséder d'image en ce point, ce qui permet souvent d'éliminer rapidement certaines propositions trompeuses.
Ensuite, méfiez-vous des affirmations concernant les tangentes. Si l'on vous propose une équation de droite, vérifiez immédiatement la cohérence de son coefficient directeur avec le sens de variation de la fonction. Une fonction strictement décroissante sur un intervalle ne peut en aucun cas admettre une tangente avec un coefficient directeur positif. Ce simple contrôle de cohérence visuelle vous fera gagner un temps précieux lors de l'épreuve.
N'oubliez pas la spécificité du barème de ce concours. Chaque question comporte quatre affirmations qui doivent être jugées indépendamment comme vraies ou fausses. Le système de notation pénalise lourdement les erreurs : une mauvaise réponse vous fera perdre plus de points qu'une absence de réponse. Il est donc stratégiquement préférable de laisser une case vide si vous n'êtes pas absolument certain de votre raisonnement, plutôt que de tenter de deviner au hasard. Assurez vos points sur les affirmations que vous maîtrisez, comme la lecture directe du domaine de définition ou l'application classique du corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, et abstenez-vous sur les points qui vous font douter. Votre réussite dépendra autant de vos connaissances mathématiques que de votre gestion prudente du risque.