Ce que demande cette question
La question 14 de l'épreuve de mathématiques du concours ACCÈS 2011 vous confronte à l'étude d'une famille de fonctions rationnelles dépendant de deux paramètres réels, notés a et b. L'expression mathématique proposée est un quotient dont le numérateur est un polynôme de degré deux, ou moins selon la valeur du paramètre a, et dont le dénominateur est une expression affine paramétrée par b. L'objectif principal de cet exercice est d'analyser le comportement asymptotique de la courbe représentative de cette fonction selon les différentes valeurs attribuées à ces deux paramètres.
Vous êtes ainsi invité à vous prononcer sur quatre affirmations distinctes. Les deux premières propositions vous demandent de vérifier s'il est possible de choisir le paramètre a de manière à forcer l'existence d'une asymptote horizontale ou d'une asymptote oblique. La troisième affirmation fige les paramètres à des valeurs précises et vous demande d'étudier la position relative de la courbe par rapport à son asymptote au voisinage de l'infini. Enfin, la dernière proposition pose la question de l'existence systématique d'une asymptote verticale, quelles que soient les valeurs des paramètres a et b. Il s'agit donc d'une analyse globale qui nécessite une grande rigueur algébrique.
Les notions à maîtriser
Pour aborder cette question avec sérénité, vous devez être parfaitement à l'aise avec le programme d'analyse du lycée. Voici les points clés à mobiliser :
- Le calcul de limites : vous devez savoir déterminer les limites d'une fonction rationnelle aux bornes de son ensemble de définition, notamment en l'infini et en un point d'annulation du dénominateur.
- La caractérisation des asymptotes : il est impératif de connaître les définitions mathématiques exactes conduisant à l'existence d'une asymptote horizontale, verticale ou oblique.
- L'étude de la position relative : vous devez maîtriser la méthode consistant à étudier le signe de la différence entre l'expression de la fonction et l'équation de l'asymptote pour situer la courbe.
- La gestion des paramètres : la capacité à discuter des résultats selon les valeurs prises par des constantes réelles est une compétence discriminante.
Méthode et pièges au concours ACCÈS
L'épreuve de raisonnement logique et mathématiques du concours ACCÈS est réputée pour sa densité et son exigence. Face à une question paramétrée comme celle-ci, le principal piège est de se précipiter et de tirer des conclusions hâtives sans envisager tous les cas particuliers. Par exemple, il est crucial de se demander ce qu'il se passe si le paramètre a est nul, car cela modifie fondamentalement le degré du numérateur et donc la nature de la fonction.
Prenez l'habitude de poser vos calculs de limites au brouillon de manière structurée. Pour l'asymptote oblique, rappelez-vous qu'une division polynomiale ou une identification des coefficients peut grandement faciliter la recherche de son équation. De même, pour l'asymptote verticale, méfiez-vous des cas où le numérateur s'annulerait en même temps que le dénominateur, ce qui pourrait transformer l'asymptote en un simple prolongement par continuité.
Enfin, gardez toujours à l'esprit les spécificités du barème de ce concours. Le système de notation est conçu pour pénaliser les réponses données au hasard. Une erreur coûte plus cher qu'une absence de réponse. Si, après avoir posé vos calculs, vous n'êtes pas certain du comportement de la fonction pour une configuration donnée, il est stratégiquement préférable de vous abstenir sur cette affirmation précise plutôt que de risquer des points de pénalité qui feraient chuter votre note finale.