Ce que demande cette question

Dans cette huitième question de l'épreuve de raisonnement mathématique du concours ACCÈS 2013, vous êtes confronté à l'étude classique d'une fonction numérique faisant intervenir le logarithme népérien. L'énoncé vous donne l'expression algébrique d'une fonction définie par un quotient où le numérateur contient une fonction logarithme et le dénominateur est une simple variable. À partir de cette unique donnée, les quatre affirmations balayent l'ensemble des propriétés analytiques et graphiques de la courbe représentative associée. Vous allez devoir vérifier la présence d'asymptotes horizontales et verticales, ce qui implique le calcul rigoureux de limites aux bornes du domaine de définition. Ensuite, il vous est demandé de statuer sur les variations de la fonction sur un intervalle précis, nécessitant le calcul de la fonction dérivée et l'étude de son signe. Enfin, la dernière affirmation porte sur la recherche des coordonnées exactes du point d'intersection entre la courbe et l'axe des abscisses, ce qui revient à résoudre une équation logarithmique. C'est un exercice de synthèse très complet qui évalue votre capacité à mobiliser rapidement plusieurs outils de l'analyse fonctionnelle.

Les notions à maîtriser

• Le domaine de définition et les limites : savoir identifier les valeurs interdites liées au quotient et au logarithme, puis calculer les limites en zéro et en l'infini en utilisant les croissances comparées.
• Les asymptotes à une courbe : faire le lien entre le résultat d'un calcul de limite et l'existence d'une asymptote verticale ou horizontale, en maîtrisant les équations de droites associées.
• La dérivation d'un quotient : appliquer sans erreur la formule de dérivation pour une fonction de la forme u sur v, tout en connaissant la dérivée usuelle du logarithme népérien.
• La résolution d'équations logarithmiques : être capable de résoudre une équation en isolant le logarithme puis en utilisant la fonction exponentielle pour trouver l'abscisse du point d'intersection.

Méthode et pièges au concours ACCÈS

Pour réussir ce type de question au concours ACCÈS, la rigueur et la gestion du temps sont vos meilleurs atouts. Face à une étude de fonction, il est souvent tentant de se lancer immédiatement dans le calcul de la dérivée. Cependant, prenez toujours le temps de bien lire les affirmations avant de commencer vos calculs. Les deux premières propositions portent sur les asymptotes, ce qui requiert uniquement des calculs de limites. Soyez particulièrement vigilant lors de l'utilisation des théorèmes de croissances comparées, car les erreurs de signe ou d'interprétation des formes indéterminées sont fréquentes et lourdement sanctionnées.

Concernant l'étude des variations, le calcul de la dérivée doit être mené avec une grande concentration. Une simple erreur de signe au numérateur faussera l'intégralité de votre tableau de variations et vous fera perdre de précieux points. Pensez à vérifier la cohérence entre vos limites et le sens de variation trouvé. De plus, lors de la résolution de l'équation pour trouver l'intersection avec l'axe des abscisses, prenez garde aux propriétés algébriques liant l'exponentielle et le logarithme. Une mauvaise manipulation des exposants est un piège classique dans lequel de nombreux candidats tombent chaque année.

Enfin, gardez toujours à l'esprit la spécificité du barème de l'épreuve de raisonnement logique et mathématiques. Le concours ACCÈS applique un système de pénalités où une réponse fausse vous fait perdre des points, tandis qu'une absence de réponse rapporte simplement zéro. Une erreur coûte plus qu'une absence de réponse. Par conséquent, si vous n'êtes pas absolument certain de votre calcul de limite ou de votre dérivée, il est stratégiquement préférable de ne pas cocher la case plutôt que de risquer une pénalité qui ferait baisser votre note globale. Ne répondez qu'aux affirmations pour lesquelles vous avez abouti à une démonstration mathématique solide.