Ce que demande cette question

Dans cette sixième question de l'épreuve de raisonnement mathématique du concours ACCÈS 2023, vous êtes confronté à l'étude classique d'une fonction numérique. L'énoncé vous présente une fonction combinant une partie affine et une partie logarithmique. Votre premier objectif est de déterminer avec précision l'ensemble de définition de cette fonction, étape fondamentale pour évaluer la première affirmation. Ensuite, le sujet vous invite à dériver cette fonction afin de vérifier l'expression de sa dérivée première. Une fois cette étape franchie, vous devez pousser l'analyse en étudiant la convexité ou la concavité de la courbe représentative, ce qui implique le calcul et l'étude du signe de la dérivée seconde. Enfin, la dernière affirmation vous demande de déterminer si la fonction admet un extremum local, et plus particulièrement un maximum, en un point d'abscisse donné. Il s'agit d'une question complète qui balaie les étapes de l'étude d'une fonction logarithme.

Les notions à maîtriser

Pour aborder cette question sereinement, vous devez être parfaitement à l'aise avec plusieurs concepts fondamentaux de l'analyse :

• Le domaine de définition du logarithme : vous devez savoir que la fonction logarithme n'est définie que pour des arguments strictement positifs et savoir résoudre l'inéquation associée.
• Les règles de dérivation : la maîtrise de la dérivée d'une somme et de la dérivée d'une fonction composée est indispensable.
• L'étude des variations : vous devez être capable de dresser le tableau de signe de la dérivée première pour en déduire les variations et identifier un éventuel maximum.
• La convexité et la concavité : il est nécessaire de savoir calculer la dérivée seconde et d'étudier son signe pour conclure sur la concavité.

Méthode et pièges au concours ACCÈS

L'épreuve de mathématiques du concours ACCÈS est réputée pour sa gestion du temps exigeante et son système de notation spécifique. Face à une question d'analyse comme celle-ci, la méthode la plus sûre consiste à traiter les affirmations dans l'ordre de l'étude de fonction. Commencez toujours par vérifier le domaine de définition avant de dériver. Le piège classique ici réside dans le signe négatif à l'intérieur du logarithme. Beaucoup de candidats se précipitent et commettent une erreur de signe en résolvant l'inéquation. Prenez le temps de poser votre calcul proprement sur votre brouillon. Lors du calcul de la dérivée, n'oubliez pas d'appliquer correctement la formule de la dérivée d'une fonction composée. Une omission du coefficient multiplicateur issu de la dérivée interne est une erreur fréquente. Gardez constamment à l'esprit le barème de l'épreuve. Dans ce concours, une mauvaise réponse est lourdement pénalisée par des points négatifs, tandis qu'une absence de réponse ne vous enlève aucun point. Par conséquent, si vous n'arrivez pas à calculer la dérivée seconde avec certitude, il est préférable de laisser l'affirmation correspondante sans réponse plutôt que de deviner à l'aveugle. Votre stratégie doit être axée sur la sécurisation des points. Assurez-vous de valider les affirmations dont vous êtes certain et ne prenez pas de risques inutiles.