Ce que demande cette question

La question 17 de l'épreuve de mathématiques du concours ACCÈS 2010 vous confronte à un classique des concours : l'étude d'un système d'équations linéaires avec paramètre. L'énoncé présente un système S composé de trois équations pour deux inconnues réelles, x et y. La particularité réside dans la présence d'un paramètre réel, noté a, qui modifie les coefficients des inconnues et le second membre de la troisième équation.

Votre objectif n'est pas de résoudre le système de manière brute, mais de discuter de l'existence et du nombre de solutions selon les valeurs du paramètre a. Les quatre affirmations vous demandent de vérifier des cas précis. Par exemple, vous devrez déterminer si le système n'admet aucune solution lorsque le paramètre vaut une certaine fraction, ou s'il en admet une infinité sous d'autres conditions. D'autres affirmations vous invitent à tester des valeurs entières spécifiques pour le paramètre a, comme un, deux ou moins deux, afin de vérifier si le système admet une solution unique ou un couple donné. Il s'agit d'un exercice d'analyse rigoureuse.

Les notions à maîtriser

Pour aborder cette question avec sérénité, vous devez être parfaitement à l'aise avec plusieurs concepts fondamentaux de l'algèbre linéaire au programme du lycée. Voici les points essentiels à réviser :

• La résolution par substitution ou combinaison : vous devez maîtriser les techniques classiques pour isoler une inconnue et résoudre un système de deux équations à deux inconnues.
• La discussion selon un paramètre : il est crucial de savoir comment la valeur d'un paramètre peut rendre un système incompatible (aucune solution) ou indéterminé (une infinité de solutions).
• La compatibilité d'un système surdéterminé : avec trois équations pour deux inconnues, vous devez vérifier que le couple solution trouvé à l'aide de deux équations vérifie également la troisième équation.
• Le calcul littéral et les identités remarquables : la manipulation des équations avec le paramètre a demandera de la rigueur dans vos factorisations et développements.

Méthode et pièges au concours ACCÈS

Le concours ACCÈS est réputé pour sa gestion du temps et son barème spécifique. Face à un système paramétré comme celui-ci, la méthode la plus efficace consiste souvent à tester directement les valeurs proposées dans les affirmations plutôt que de tenter une résolution générale complexe. Remplacez le paramètre par les valeurs suggérées, résolvez le système formé par les deux premières équations, puis vérifiez si la solution obtenue fonctionne dans la troisième.

Faites très attention aux cas particuliers. Un système de trois équations à deux inconnues est par nature surdéterminé. Le piège classique est de trouver un couple solution pour les deux premières lignes et d'oublier de vérifier s'il satisfait la dernière. Si ce n'est pas le cas, le système n'a tout simplement pas de solution.

Enfin, gardez toujours à l'esprit le système de notation de l'épreuve de raisonnement logique et mathématiques. Une mauvaise réponse vous pénalise lourdement, car une erreur coûte plus cher qu'une absence de réponse. Si les calculs pour une affirmation vous semblent trop longs ou si vous doutez de votre résultat, il est stratégiquement préférable de laisser la case vide. Concentrez vos efforts sur les affirmations où votre certitude est absolue.