Ce que demande cette question

Dans cette neuvième question de l'épreuve, vous êtes confronté à un problème classique d'analyse et de géométrie analytique. L'énoncé vous présente deux objets mathématiques distincts : une droite paramétrée et une parabole. La première courbe est une droite dont l'ordonnée à l'origine est fixée, mais dont le coefficient directeur dépend d'un paramètre réel. La seconde courbe est une parabole tournée vers le bas, définie par une équation du second degré dont les trois coefficients sont inconnus. Vous savez qu'elles se croisent en un point d'abscisse donnée et vous connaissez les coordonnées exactes du sommet de la parabole.

Le travail demandé consiste à traduire rigoureusement ces informations géométriques en un système d'équations algébriques. Les premières affirmations vous invitent à vérifier si les relations proposées correspondent bien à la traduction mathématique du sommet et du point d'intersection. Ensuite, vous devez résoudre ce système pour exprimer les trois coefficients de la parabole uniquement en fonction du paramètre de la droite. Enfin, la dernière affirmation vous demande d'étudier un cas particulier en fixant la valeur du paramètre, afin de déterminer l'existence et la position exacte d'un second point d'intersection entre les courbes.

Les notions à maîtriser

Pour aborder cette question avec sérénité, vous devez être parfaitement à l'aise avec les concepts suivants :

• Les propriétés de la fonction polynôme du second degré : Il est impératif de connaître la formule de l'abscisse du sommet d'une parabole et de savoir exploiter les coordonnées de son extremum.
• L'appartenance d'un point à une courbe : Vous devez maîtriser le fait que si un point appartient à une courbe, alors ses coordonnées vérifient l'équation de cette courbe.
• La résolution de systèmes d'équations : Le passage de la géométrie à l'algèbre implique de savoir manipuler et résoudre un système linéaire à plusieurs inconnues.
• L'intersection de deux courbes : Il faut savoir poser l'égalité entre les deux équations pour trouver les abscisses des points de contact.

Méthode et pièges au concours ACCÈS

Le concours ACCÈS possède une mécanique de notation très spécifique qu'il faut toujours garder à l'esprit. Chaque question comporte quatre affirmations indépendantes à évaluer. Le barème est conçu pour sanctionner les réponses au hasard : une erreur vous coûte des points de pénalité, ce qui signifie qu'une mauvaise réponse est plus pénalisante qu'une absence de réponse. Il est donc fondamental de ne répondre que si vous êtes absolument certain de votre raisonnement mathématique.

Dans le cadre de cet exercice sur le second degré, le piège principal réside dans la lourdeur des calculs algébriques. Les erreurs de signe lors de la mise en équation ou lors de la substitution des variables sont fréquentes et peuvent fausser l'intégralité de votre système. Prenez le temps de poser vos équations proprement sur votre brouillon. Une méthode efficace consiste à traiter les informations une par une : traduisez d'abord le sommet de la parabole pour obtenir une relation simple, puis utilisez l'ordonnée de ce sommet, et enfin exploitez le point d'intersection.

Pour la dernière affirmation, ne tombez pas dans le piège de refaire tous les calculs de manière littérale. Puisque l'on vous donne une valeur numérique précise pour le paramètre, remplacez-la immédiatement dans vos expressions pour simplifier la résolution.