Introduction aux notions de Géométrie et d'Algorithmique

Cet exercice issu du sujet de Brevet 2026 (Zone Asie) est une synthèse parfaite des deux piliers du programme de mathématiques en 3ème : la géométrie plane classique et l'algorithmique avec Scratch. Il demande à l'élève de jongler entre les propriétés des polygones réguliers (carré et triangle équilatéral) et la logique de programmation par blocs. L'objectif est double : démontrer une rigueur de raisonnement sur les angles et savoir traduire une figure géométrique en instructions informatiques. Nous allons décomposer chaque étape pour comprendre comment valider les points sur ce type d'exercice hybride.

Analyse Question 1 : Le calcul d'angle et la colinéarité

La première question repose sur l'utilisation des propriétés fondamentales des polygones. Pour justifier que l'angle $\widehat{\text{EAD}}$ mesure $30^\circ$, il faut observer les points alignés $F$, $A$ et $E$. Cet alignement forme un angle plat, soit $\widehat{\text{FAE}} = 180^\circ$. Le point $A$ est le sommet commun à trois structures : le triangle équilatéral $ABF$, le carré $ABCD$ et le segment $[FE]$.
Le raisonnement est le suivant :
1. Dans le triangle équilatéral $ABF$, tous les angles mesurent $60^\circ$, donc $\widehat{\text{FAB}} = 60^\circ$.
2. Dans le carré $ABCD$, l'angle $\widehat{\text{BAD}}$ est un angle droit, soit $90^\circ$.
3. Les angles $\widehat{\text{FAB}}$, $\widehat{\text{BAD}}$ et $\widehat{\text{EAD}}$ sont adjacents et forment l'angle plat $\widehat{\text{FAE}}$.
Le calcul est donc : $\widehat{\text{EAD}} = 180^\circ - (\widehat{\text{FAB}} + \widehat{\text{BAD}}) = 180 - (60 + 90) = 180 - 150 = 30^\circ$. La justification doit être claire et citer explicitement les propriétés des figures.

Analyse Question 2 : Paramétrage des blocs Scratch et conversion d'échelle

Ici, on passe à l'algorithmique. Le sujet impose une échelle : $10 \text{ pas} = 1 \text{ cm}$.
Pour le **bloc Triangle**, on veut un côté de $4 \text{ cm}$. La valeur de **J** (avancer) sera donc $4 \times 10 = 40$. Pour la valeur de **K**, c'est le piège classique de Scratch. Le lutin tourne de l'angle *extérieur* au polygone. Pour un triangle équilatéral dont les angles intérieurs sont de $60^\circ$, le lutin doit tourner de $180 - 60 = 120^\circ$. Donc $K = 120$.
Pour le **bloc Carré**, le raisonnement est identique. Le côté est de $4 \text{ cm}$, donc **M** (avancer) $= 40$. L'angle de rotation **N** pour un carré est de $90^\circ$ ($180 - 90 = 90$).
En résumé : $J = 40, K = 120, M = 40, N = 90$.

Analyse Question 3 : Interprétation du programme principal

Cette question demande une vision spatiale de l'exécution du code. Le programme répète $6$ fois une séquence : dessiner un triangle, avancer de $50$ pas, tourner de $30^\circ$, dessiner un carré, avancer de $50$ pas, tourner de $30^\circ$.
Chaque itération de la boucle effectue une rotation totale de $30 + 30 = 60^\circ$. Comme la boucle se répète $6$ fois, le lutin effectue une rotation complète de $6 \times 60 = 360^\circ$, revenant à son point de départ après avoir dessiné les figures en étoile. En analysant les figures proposées :
- La Figure 1 montre une translation linéaire (faux).
- La Figure 2 montre une disposition radiale symétrique avec des triangles et des carrés (correct).
- La Figure 3 montre une déformation complexe ne correspondant pas à la rotation de $60^\circ$.
- La Figure 4 est également linéaire. La réponse attendue est donc la **Figure 2**.

Les Pièges à éviter le jour du Brevet

Le piège le plus fréquent dans les exercices Scratch est l'angle de rotation. Ne confondez jamais l'angle intérieur du polygone (celui que vous mesurez au rapporteur sur la feuille) avec l'angle de rotation du lutin. Si vous mettez $60^\circ$ pour un triangle, Scratch dessinera un hexagone ! Un autre point d'attention est l'échelle. Lisez bien l'énoncé : si $10 \text{ pas} = 1 \text{ cm}$, un côté de $4$ ne s'écrit pas '4' dans le bloc mais '40'. Enfin, vérifiez toujours le nombre de répétitions dans la boucle : ici '6 fois' est un indice crucial pour identifier une figure circulaire (car $360/6 = 60$).

Conseils de rédaction pour maximiser vos points

Pour la question 1, structurez votre réponse en utilisant des connecteurs logiques : 'On sait que...', 'Or...', 'Donc...'. Citez les noms des figures ($ABCD$ est un carré) pour justifier l'usage des angles droits. Pour les questions Scratch, même si 'aucune justification n'est attendue', écrivez vos calculs au brouillon pour éviter les erreurs d'inattention sur les multiplications par 10. Présentez vos résultats $J, K, M, N$ clairement, par exemple sous forme de liste ou de tableau, pour faciliter la lecture du correcteur.