Introduction aux notions fondamentales du Brevet 2021

L'épreuve de mathématiques du Brevet en Nouvelle-Calédonie (session 2021) propose un exercice inaugural sous forme de questionnaire « Vrai ou Faux ». Ce format est particulièrement exigeant car il ne suffit pas de deviner la réponse : la justification est le moteur de la notation. Cet exercice balaye un spectre large du programme de 3ème : calcul numérique, arithmétique, résolution d'équations, géométrie dans l'espace et trigonométrie. L'objectif est de vérifier l'agilité mentale de l'élève et sa capacité à mobiliser des outils variés de manière rapide et précise.

Analyse de l'Affirmation 1 : Manipulation des Pourcentages

Bien que l'énoncé source semble tronqué sur le pourcentage exact, le principe reste le même. En mathématiques de 3ème, un pourcentage est avant tout un coefficient multiplicateur ou une fraction de dénominateur 100. Pour justifier une affirmation sur les pourcentages, il est conseillé de repasser par la forme décimale. Par exemple, calculer 50% d'une valeur revient à multiplier par 0,5 ou à diviser par 2. Dans un exercice de type Vrai/Faux, vérifiez toujours si l'énoncé parle d'une réduction ou d'une valeur finale.

Analyse de l'Affirmation 2 : Les Fractions et l'Irréductibilité

L'affirmation porte sur la fraction $\dfrac{42}{18}$ et sa forme simplifiée $\dfrac{7}{3}$. Pour démontrer que deux fractions sont égales, on peut utiliser le produit en croix ou la décomposition en facteurs premiers. Ici, cherchons le Plus Grand Commun Diviseur (PGCD) de 42 et 18. On remarque que $42 = 6 \times 7$ et $18 = 6 \times 3$. En simplifiant par le facteur commun 6, on obtient bien $\dfrac{7}{3}$. Comme 7 et 3 sont des nombres premiers entre eux (leur seul diviseur commun est 1), la fraction est dite irréductible. L'affirmation est donc Vraie.

Analyse de l'Affirmation 3 : Résolution d'Équation du premier degré

On nous propose de tester si $3$ est solution de $2x - 4 = -x + 5$. Deux méthodes s'offrent à l'élève. La première consiste à résoudre l'équation : on regroupe les $x$ d'un côté ($2x + x = 5 + 4$) ce qui donne $3x = 9$, donc $x = 3$. La seconde méthode, souvent plus rapide pour un QCM, est la substitution. On remplace $x$ par 3 dans chaque membre : à gauche, $2(3) - 4 = 6 - 4 = 2$ ; à droite, $-3 + 5 = 2$. Les deux membres étant égaux, l'affirmation est Vraie.

Analyse de l'Affirmation 4 : Volume d'une Boule et pièges de calcul

C'est ici que l'attention aux détails est cruciale. La formule donnée est $V = \dfrac{4}{3} \pi R^3$. L'énoncé donne un diamètre de $21,6$ cm. Le piège classique est d'utiliser le diamètre au lieu du rayon. Le rayon $R$ est la moitié du diamètre, soit $10,8$ cm. Le calcul devient : $V = \dfrac{4}{3} \times \pi \times 10,8^3$. À la calculatrice, on trouve environ $5276,6$ cm³. L'affirmation proposait $42213$ cm³, ce qui correspondrait à une erreur de formule (utilisation du diamètre ou erreur de puissance). L'affirmation est donc Fausse.

Analyse de l'Affirmation 5 : Trigonométrie dans le triangle rectangle

Dans le triangle DBN rectangle en B (indiqué par le codage), on connaît le côté opposé à l'angle $\widehat{\text{DNB}}$ (DB = 4 cm) et le côté adjacent (BN = 12 cm). Nous devons utiliser la tangente : $\tan(\widehat{\text{DNB}}) = \frac{\text{Opposé}}{\text{Adjacent}} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$. Pour trouver l'angle, on utilise la fonction $\arctan$ (ou $\tan^{-1}$) de la calculatrice. $\arctan(1/3) \approx 18,43°$. L'arrondi à l'unité est bien $18°$. L'affirmation est Vraie.

Analyse de l'Affirmation 6 : Dénombrement et Logique

Pour former un code de 3 chiffres : les deux premiers sont choisis parmi {1, 2, 3} et le dernier est fixé à 6. Pour le premier chiffre, il y a 3 choix possibles. Pour le second, il y a aussi 3 choix (car un chiffre peut apparaître deux fois). Pour le dernier, il n'y a qu'un seul choix (le chiffre 6). Le nombre total de combinaisons est donc $3 \times 3 \times 1 = 9$. L'affirmation qui annonçait 6 codes est donc Fausse.

Les Pièges à éviter au Brevet

La confusion entre diamètre et rayon dans les calculs de volumes est l'erreur la plus fréquente. De plus, veillez à bien régler votre calculatrice en mode Degrés pour les exercices de trigonométrie, sinon vos résultats seront faux. Enfin, n'oubliez jamais que pour justifier une affirmation fausse, un contre-exemple ou un calcul correct suffit à invalider la proposition.

Conseils de rédaction pour gagner des points

Sur votre copie, structurez votre réponse : 1. Enoncez votre conclusion (Vrai ou Faux). 2. Présentez le calcul ou la propriété utilisée (ex: 'Dans le triangle rectangle...', 'En utilisant la formule du volume...'). 3. Concluez par une phrase de comparaison entre votre résultat et celui de l'énoncé. Une rédaction claire est souvent récompensée par le correcteur, même si une petite erreur de calcul s'est glissée dans le raisonnement.