Introduction aux configurations géométriques du Brevet

Cet exercice, issu du sujet de Brevet des collèges de Nouvelle-Calédonie 2015, est un cas d'école pour tester les compétences fondamentales en géométrie plane et dans l'espace. Le support est le « faré », une structure traditionnelle qui permet de modéliser une pyramide à base carrée. À travers cet exercice, les élèves de 3ème doivent mobiliser deux piliers du programme : le théorème de Pythagore (et sa réciproque) pour l'étude des triangles rectangles, et le théorème de Thalès pour le calcul de longueurs dans des configurations de droites parallèles. La réussite de ce type d'exercice repose sur une lecture attentive de la figure et une rédaction rigoureuse, deux aspects que nous allons détailler ici.

Analyse Question 1 : Prouver qu'un triangle est rectangle

La première étape consiste à vérifier la nature du triangle ACH. On nous donne les longueurs suivantes : $AC = 3,60$ m, $AH = 2,88$ m et $CH = 2,16$ m. Pour démontrer qu'un triangle est rectangle lorsqu'on connaît ses trois côtés, l'outil indispensable est la réciproque du théorème de Pythagore.

Le raisonnement doit être structuré ainsi :
1. On identifie le côté le plus long : ici, il s'agit de $[AC]$ avec $3,60$ m.
2. On calcule le carré de cette longueur : $AC^2 = 3,60^2 = 12,96$.
3. On calcule la somme des carrés des deux autres côtés : $AH^2 + CH^2 = 2,88^2 + 2,16^2$.
En effectuant les calculs, on obtient $8,2944 + 4,6656 = 12,96$.
4. On compare les résultats : Puisque $AC^2 = AH^2 + CH^2$, l'égalité de Pythagore est vérifiée. On en conclut que le triangle ACH est rectangle en H.

Note pédagogique : Il est crucial de ne pas écrire l'égalité avant d'avoir prouvé que les deux membres sont égaux. Séparez bien vos calculs pour ne pas commettre d'erreur de logique.

Analyse Question 2a : Calculer une longueur avec le théorème de Thalès

La deuxième partie de l'exercice bascule sur l'étude d'un pan du toit, représenté par le triangle ABC, isocèle en C. La donnée clé ici est que les segments AG, GD et DC sont égaux sur le côté [AC]. Cela signifie que le point D est situé au tiers du segment [AC] en partant de C, ou plus précisément que $CD = \frac{1}{3} AC$.

On nous indique que les droites (DE) et (AB) sont parallèles. C'est le signal immédiat pour utiliser le théorème de Thalès dans le triangle ABC. Les conditions d'application sont réunies :
- D appartient à [AC], E appartient à [BC].
- Les droites (DE) et (AB) sont parallèles.
D'après le théorème, nous avons l'égalité des rapports : $\frac{CD}{CA} = \frac{CE}{CB} = \frac{DE}{AB}$.

Puisque $AC = AG + GD + DC$ et que ces trois segments sont de même longueur, on en déduit que $CD = \frac{1}{3} AC$, soit le rapport $\frac{CD}{CA} = \frac{1}{3}$. En remplaçant par les valeurs numériques, on a : $\frac{1}{3} = \frac{DE}{4,08}$. En effectuant un produit en croix, on trouve $DE = \frac{4,08}{3} = 1,36$ m.

Analyse Question 2b : Synthèse et calcul de la charpente totale

La question finale demande de calculer la longueur totale de bois nécessaire pour les quatre pans du toit. Chaque pan est identique et comporte trois traverses : [AB], [GF] et [DE].
Nous connaissons déjà : $AB = 4,08$ m, $GF = 2,72$ m (donné dans l'énoncé) et $DE = 1,36$ m.
La longueur totale des traverses pour UN pan est donc : $4,08 + 2,72 + 1,36 = 8,16$ m.

Puisque la pyramide a une base carrée, elle possède 4 pans triangulaires identiques. La longueur totale pour la toiture entière est : $8,16 \times 4 = 32,64$ m.

Les Pièges à Éviter et Conseils de Rédaction

1. Confusion de théorèmes : Utilisez Pythagore pour les angles droits et Thalès pour les parallèles. Ne mélangez pas les formules.
2. Les Unités : L'exercice utilise le mètre. Assurez-vous que tous vos résultats sont exprimés dans cette unité et n'oubliez pas de la mentionner dans votre phrase de conclusion.
3. La lecture de l'énoncé : L'égalité des segments AG, GD, DC, CE, EF et FB est essentielle. Elle permet de définir les rapports de réduction (1/3 et 2/3) sans lesquels on ne peut pas appliquer Thalès sur le segment [GF] ou [DE].
4. Rédaction : Pour Thalès, citez toujours les droites parallèles et les points alignés. Pour la réciproque de Pythagore, ne partez jamais de l'égalité $A^2 = B^2 + C^2$ ; calculez chaque côté séparément.

Importance de cet exercice pour le Brevet

Cet exercice est un excellent entraînement car il combine la vision dans l'espace (pyramide) avec la géométrie plane (le pan du triangle). La structure de l'exercice est typique des épreuves de mathématiques du Diplôme National du Brevet (DNB) : une mise en situation concrète (la construction d'un faré) qui masque des concepts mathématiques abstraits. Maîtriser ces enchaînements garantit une note solide le jour de l'examen.