Introduction : La convergence de la géométrie et de l'algorithmique

Cet exercice issu du sujet du Brevet de Mathématiques 2020 (Métropole) est un modèle d'interdisciplinarité. Il combine deux piliers du programme de 3ème : la géométrie plane (propriétés des triangles et calculs d'angles) et l'algorithmique via le logiciel Scratch. L'objectif est de modéliser une éolienne composée de trois pales symétriques. Ce type d'exercice est fréquent à l'examen car il permet de vérifier la capacité de l'élève à passer d'une figure géométrique statique à un script de programmation dynamique. Comprendre le lien entre les angles intérieurs d'une figure et les angles de rotation d'un lutin est la clé de la réussite.

Analyse détaillée de la Question 1 : Géométrie de la pale

La première partie de l'exercice se concentre sur les propriétés fondamentales du triangle. On nous présente une pale d'éolienne représentée par un polygone complexe où le triangle DEC joue un rôle central.

1.a. Calcul de l'angle $\widehat{CDE}$

Pour montrer que $\widehat{CDE} = 10\degres$, il faut mobiliser deux propriétés majeures :

• Propriété du triangle isocèle : L'énoncé indique que le triangle DEC est isocèle en D. Par conséquent, les angles à la base sont égaux. On en déduit que $\widehat{ECD} = \widehat{CED} = 85\degres$.
• Somme des angles d'un triangle : Dans n'importe quel triangle, la somme des mesures des angles intérieurs est toujours égale à $180\degres$.

Le raisonnement est donc le suivant : $\widehat{CDE} = 180 - (\widehat{ECD} + \widehat{CED}) = 180 - (85 + 85) = 180 - 170 = 10\degres$. La démonstration est rigoureuse et s'appuie sur les données textuelles de la figure.

1.b. La logique de rotation dans Scratch (Ligne 6)

C'est ici que de nombreux élèves commettent une erreur classique. Dans Scratch, le bloc 'tourner' ne correspond pas à l'angle intérieur de la figure, mais à l'angle supplémentaire. Lorsque le lutin arrive au point C en venant de B, il est orienté vers le bas. Pour remonter le long du segment [CD], il doit effectuer un virage. L'angle intérieur $\widehat{ECD}$ est de $85\degres$. Le lutin doit donc tourner de $180 - 85 = 95\degres$ pour s'aligner sur le nouveau segment. C'est pourquoi la valeur 95 est inscrite à la ligne 6.

1.c. Compléter la ligne 8 : Le virage au sommet D

En suivant la même logique, à la ligne 8, le lutin se trouve au point D (le sommet de la pale). Il vient de parcourir le segment [ED] et doit maintenant redescendre vers C. Nous avons calculé précédemment que l'angle intérieur $\widehat{CDE}$ est de $10\degres$. Pour faire demi-tour et suivre le côté suivant, le lutin doit tourner de $180 - 10 = 170\degres$. La valeur à inscrire est donc 170.

Analyse de la Question 2 : La répétition et la symétrie

Le second script définit l'éolienne complète. Une éolienne est une figure présentant une symétrie centrale ou une rotation. L'énoncé précise qu'elle est formée de 3 pales. Dans Scratch, pour créer une répétition à l'identique d'un motif, on utilise la boucle 'répéter'. Puisque l'éolienne possède 3 pales réparties de manière régulière autour de l'axe central, la boucle doit être complétée par la valeur 3. On remarque d'ailleurs que le bloc suivant indique une rotation de $120\degres$, ce qui est cohérent car $3 \times 120 = 360\degres$, soit un tour complet.

Les pièges à éviter lors de l'épreuve

Le piège principal réside dans la confusion entre l'angle géométrique (intérieur) et l'angle de rotation de Scratch (extérieur). Pour ne plus vous tromper, imaginez que vous marchez sur le trait : l'angle de rotation est l'angle dont vous devez faire pivoter vos épaules pour changer de direction. Un autre point de vigilance est la lecture attentive de l'énoncé : la mention 'triangle isocèle' est l'indice indispensable pour débloquer tout l'exercice.

Conseils de rédaction pour gagner tous les points

Pour la question 1.a, ne donnez pas juste le résultat. Énoncez clairement : 'On sait que le triangle DEC est isocèle en D, donc ses angles à la base sont égaux'. Pour les questions Scratch, expliquez brièvement votre calcul ($180 - \text{angle}$) même si ce n'est pas explicitement demandé, cela montre au correcteur que vous avez compris la logique informatique derrière le script.