Introduction aux notions de Géométrie du Brevet

L'exercice 3 du sujet de Brevet 2016 (Métropole) est une évaluation complète des compétences en géométrie plane. Il sollicite la capacité de l'élève à extraire des informations d'une figure codée, à mobiliser des formules fondamentales et à faire preuve de prise d'initiatives. Nous allons aborder ici trois piliers du programme de 3ème : les propriétés des triangles particuliers, la trigonométrie dans le triangle rectangle et les mesures liées au cercle. La consigne est claire : pas de démonstration rédigée, mais une explication brève du raisonnement. C'est un format qui valorise l'efficacité et la précision calculatoire.

Analyse de la Figure 1 : Le Triangle et ses Codages

La première figure présente un triangle $ABC$ avec un point $J$. L'analyse visuelle du code est ici primordiale. En observant les segments, on remarque des marques d'égalité (codages identiques) sur les segments. Si l'énoncé indique $BC = 6$ cm et que les segments $AB$ et $BC$ portent le même symbole, alors par déduction directe, $AB = 6$ cm. Cependant, dans certains contextes de cet exercice de 2016, la figure suggérait l'utilisation du théorème de Pythagore ou d'une propriété de la médiane si l'angle en $B$ était marqué comme droit. Ici, les points de suspension et le codage sur $BJ$ indiquent que $J$ est le milieu de l'hypoténuse d'un triangle rectangle. La propriété stipule que dans un triangle rectangle, la longueur de la médiane issue de l'angle droit est égale à la moitié de la longueur de l'hypoténuse. Si le codage montre que $AB$ est égal à $BC$ par symétrie ou via des triangles isocèles adjacents, la valeur de $AB$ s'obtient par lecture directe des égalités de longueur. La prise d'initiative réside dans la lecture correcte du symbole : s'agit-il d'un triangle équilatéral ou d'un triangle rectangle isocèle ? Le codage est la clé.

Analyse de la Figure 2 : Maîtriser la Trigonométrie

La Figure 2 est un cas d'école de trigonométrie. Nous sommes en présence d'un triangle $ABC$ rectangle en $A$. On nous donne l'hypoténuse $BC = 36$ cm et l'angle $\widehat{ACB} = 53^{\circ}$. L'objectif est de calculer $AB$, qui est le côté opposé à l'angle connu. Pour choisir la bonne formule, on utilise le moyen mnémotechnique SOH CAH TOA. Ici, nous avons l'Opposé (cherché) et l'Hypoténuse (connue), nous utilisons donc le Sinus : $\sin(\widehat{BCA}) = \frac{AB}{BC}$. En remplaçant par les valeurs : $\sin(53^{\circ}) = \frac{AB}{36}$. Par un produit en croix, nous obtenons $AB = 36 \times \sin(53^{\circ})$. À la calculatrice, assurez-vous que le mode est bien en DEGRÉS. Le calcul donne environ $28,75$ cm. La consigne demandant une précision au millimètre près, nous arrondirons à $28,8$ mm si l'unité de base était le cm, ou plus simplement $28,7$ cm soit $287$ mm selon l'interprétation de l'échelle.

Analyse de la Figure 3 : Le Cercle et le Périmètre

La Figure 3 demande une gymnastique inverse. On ne donne pas le rayon, mais le périmètre (longueur) du cercle : $154$ cm. La formule de la circonférence d'un cercle est $L = \pi \times D$ (où $D$ est le diamètre) ou $L = 2 \times \pi \times R$. Ici, $[AB]$ est explicitement défini comme le diamètre du cercle. L'équation devient donc : $154 = \pi \times AB$. Pour isoler $AB$, on effectue la division : $AB = \frac{154}{\pi}$. En utilisant la touche $\pi$ de la calculatrice pour une précision maximale, on obtient $AB \approx 49,019$ cm. L'arrondi au millimètre près donne $49,0$ cm (ou $490$ mm).

Les Pièges à Éviter

1. **Le mode de la calculatrice** : C'est l'erreur la plus fréquente en trigonométrie. Si votre calculatrice est en Radians (Rad) ou en Grades (Gra), le résultat de $\sin(53)$ sera faux. Vérifiez toujours le petit 'D' ou 'DEG' en haut de l'écran.
2. **La confusion des formules** : Utiliser le cosinus au lieu du sinus dans la figure 2. Rappelez-vous : le cosinus est pour le côté *adjacent*, le sinus pour le côté *opposé*.
3. **L'arrondi** : Ne confondez pas 'arrondi au millimètre' et 'arrondi à l'unité'. Si la mesure est en cm, le millimètre correspond au premier chiffre après la virgule (le dixième).
4. **Oublier l'unité** : Un résultat sans unité perd souvent la moitié des points de la question au Brevet.

Conseils de Rédaction pour l'Examen

Même si l'exercice précise qu'une démonstration rédigée n'est pas attendue, ne soyez pas trop laconique. Utilisez des structures simples : "Dans le triangle $ABC$ rectangle en $A$, on utilise le sinus..." ou "Dans le cercle de centre $O$, la relation entre périmètre et diamètre est...". Présentez votre calcul ligne par ligne. Soulignez le résultat final avec son unité. Cette clarté permet au correcteur de valider votre raisonnement même si vous faites une petite erreur de frappe sur votre calculatrice. La prise d'initiative est souvent récompensée si elle est cohérente avec les données visuelles fournies.