Analyse du Sujet 2 Amérique du Nord 2024 : Exercice 1

L'épreuve de spécialité mathématiques du Baccalauréat 2024 pour la zone Amérique du Nord (Sujet 2) propose en exercice 1 une étude classique et complète autour des probabilités. Cet exercice est ancré dans une thématique actuelle : l'analyse du parc automobile français et la proportion de véhicules hybrides rechargeables. Il permet d'évaluer la capacité des candidats à modéliser une situation aléatoire, à manipuler des probabilités conditionnelles et à maîtriser la loi binomiale.

Compétences et clés de réussite

Pour réussir cet exercice, les élèves doivent mobiliser plusieurs savoir-faire fondamentaux du programme de Terminale.

1. Modélisation par un arbre pondéré et probabilités conditionnelles

La première partie (Partie A) exige une lecture attentive de l'énoncé pour traduire les pourcentages donnés en probabilités mathématiques. La construction d'un arbre pondéré est l'outil indispensable ici. Les candidats doivent savoir distinguer :

• La probabilité d'un événement (premier niveau de l'arbre).
• La probabilité conditionnelle (branches secondaires).

Une erreur fréquente consiste à confondre la probabilité de l'intersection $P(A \cap B)$ et la probabilité conditionnelle $P_A(B)$. La maîtrise de la formule des probabilités totales est également requise pour calculer la probabilité globale qu'un véhicule soit hybride. Enfin, l'exercice demande de calculer une probabilité conditionnelle "inversée" (calculer $P_R(N)$ connaissant les données dans l'autre sens), ce qui s'apparente à l'utilisation du théorème de Bayes.

2. Maîtrise de la Loi Binomiale

La Partie B bascule sur une répétition d'épreuves indépendantes (tirage avec remise), signalant immédiatement l'utilisation de la loi binomiale. Les clés de la réussite résident dans :

• La justification des paramètres de la loi : nombre d'essais $n$ et probabilité de succès $p$.
• L'utilisation correcte de la calculatrice pour déterminer $P(X=k)$ ou $P(X \geq k)$.
• L'interprétation concrète du résultat dans le contexte de l'exercice (nombre de véhicules neufs).

3. Recherche de seuil et inéquations

La dernière partie (Partie C) généralise le problème à $n$ véhicules. C'est une question classique de recherche de seuil. L'élève doit passer par l'événement contraire pour exprimer la probabilité qu'"au moins un" véhicule soit neuf. La résolution de l'inéquation $1 - p^n \geq \text{seuil}$ nécessite une bonne manipulation des inégalités et l'utilisation du logarithme népérien (ou des propriétés des puissances) pour isoler l'inconnue $n$ en exposant. C'est une compétence transversale entre l'algèbre et les probabilités souvent discriminante pour obtenir la totalité des points.

En résumé, cet exercice 1 du sujet 2 d'Amérique du Nord 2024 est un excellent entraînement pour réviser l'ensemble du chapitre sur les probabilités discrètes avant l'épreuve finale.