Analyse de l'Exercice 1 : Probabilités et Statistiques

Cet exercice du Baccalauréat Spécialité Mathématiques 2025 (Métropole Sujet 1) propose une étude complète autour des probabilités, appliquée à un contexte concret de répartition des groupes sanguins et de collecte de sang. Il mobilise des compétences fondamentales allant de l'interprétation d'un arbre pondéré à l'application de théorèmes limites.

Compétences et clés de réussite

Pour réussir cet exercice, le candidat doit maîtriser plusieurs volets du programme de Terminale :

• Modélisation par un arbre pondéré : La première partie exige de traduire un énoncé statistique en probabilités conditionnelles. Il est crucial de bien distinguer la probabilité d'un événement (ex: appartenir au groupe A) de la probabilité conditionnelle (ex: être rhésus positif sachant qu'on est du groupe A). La complétude de l'arbre nécessite l'utilisation implicite de la somme des probabilités issues d'un même nœud égale à 1.
• Formule des probabilités totales : L'exercice demande de retrouver une probabilité manquante (celle du rhésus positif pour le groupe O) en connaissant la probabilité totale de l'événement $R$. C'est une inversion classique de la formule des probabilités totales qui demande de la rigueur dans la résolution de l'équation.
• Loi Binomiale : La deuxième partie introduit une répétition d'épreuves (échantillon de 100 personnes avec remise). Les élèves doivent identifier les critères de la loi binomiale : épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes. Les calculs d'espérance et de variance sont ici des applications directes des formules du cours ($E = np$ et $V = np(1-p)$).
• Somme de variables aléatoires et Moyenne empirique : La dernière partie élève le niveau d'abstraction en introduisant la variable $M_N$, moyenne d'échantillon. Il est essentiel de comprendre la linéarité de l'espérance et la propriété de la variance pour une somme de variables indépendantes ($V(aX) = a^2 V(X)$ et $V(X+Y) = V(X) + V(Y)$).
• Inégalité de Bienaymé-Tchebychev : C'est la touche finale technique de l'exercice. Contrairement à une approximation par la loi normale, on demande ici une majoration stricte via l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev. La clé est de transformer l'inégalité $P(|M_N - E| < \delta)$ pour déterminer la taille d'échantillon $N$ nécessaire pour obtenir une précision donnée avec un seuil de confiance de 95 %.

Cet exercice est un excellent entraînement car il connecte les probabilités discrètes classiques aux notions de fluctuation d'échantillonnage et d'estimation, des thèmes centraux du programme de 2025.