Analyse de l'Exercice 1 : Probabilités et Statistiques

Cet exercice du Baccalauréat Spécialité Mathématiques 2025 (Métropole Sujet 1) propose une étude complète autour des probabilités, appliquée à un contexte concret de répartition des groupes sanguins et de collecte de sang. Il mobilise des compétences fondamentales allant de l'interprétation d'un arbre pondéré à l'application de théorèmes limites.

Compétences et clés de réussite

Pour réussir cet exercice, le candidat doit maîtriser plusieurs volets du programme de Terminale :

• Modélisation par un arbre pondéré : La première partie exige de traduire un énoncé statistique en probabilités conditionnelles. Il est crucial de bien distinguer la probabilité d'un événement (ex: appartenir au groupe A) de la probabilité conditionnelle (ex: être rhésus positif sachant qu'on est du groupe A). La complétude de l'arbre nécessite l'utilisation implicite de la somme des probabilités issues d'un même nœud égale à 1.
• Formule des probabilités totales : L'exercice demande de retrouver une probabilité manquante (celle du rhésus positif pour le groupe O) en connaissant la probabilité totale de l'événement \(R\). C'est une inversion classique de la formule des probabilités totales qui demande de la rigueur dans la résolution de l'équation.
• Loi Binomiale : La deuxième partie introduit une répétition d'épreuves (échantillon de 100 personnes avec remise). Les élèves doivent identifier les critères de la loi binomiale : épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes. Les calculs d'espérance et de variance sont ici des applications directes des formules du cours (\(E = np\) et \(V = np(1-p)\)).
• Somme de variables aléatoires et Moyenne empirique : La dernière partie élève le niveau d'abstraction en introduisant la variable \(M_N\), moyenne d'échantillon. Il est essentiel de comprendre la linéarité de l'espérance et la propriété de la variance pour une somme de variables indépendantes (\(V(aX) = a^2 V(X)\) et \(V(X+Y) = V(X) + V(Y)\)).
• Inégalité de Bienaymé-Tchebychev : C'est la touche finale technique de l'exercice. Contrairement à une approximation par la loi normale, on demande ici une majoration stricte via l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev. La clé est de transformer l'inégalité \(P(|M_N - E| < \delta)\) pour déterminer la taille d'échantillon \(N\) nécessaire pour obtenir une précision donnée avec un seuil de confiance de 95 %.

Cet exercice est un excellent entraînement car il connecte les probabilités discrètes classiques aux notions de fluctuation d'échantillonnage et d'estimation, des thèmes centraux du programme de 2025.