Introduction : Un Sujet Équilibré et Classique

Le sujet du Baccalauréat Spécialité Mathématiques de La Réunion (Sujet 2) du 29 mars 2023 est un excellent support d'entraînement pour les futurs bacheliers. Il couvre les quatre piliers fondamentaux du programme de Terminale : les probabilités, les suites numériques, la géométrie dans l'espace et l'analyse de fonctions via un QCM.

Ce sujet se distingue par sa structure très académique. Il ne présente pas de pièges tordus mais demande une rédaction rigoureuse et une parfaite maîtrise des théorèmes classiques. C'est le type de sujet idéal pour vérifier ses acquis à quelques semaines de l'épreuve.

Exercice 1 : Probabilités et Loi Binomiale (5 points)

Le Contexte

L'exercice s'ouvre sur une situation concrète : la vente de matelas (Ressorts vs Mousse) et la satisfaction des clients. C'est un grand classique : on modélise la situation par un arbre pondéré.

Analyse Pédagogique

• Partie A (Conditionnement) : L'élève doit construire un arbre de probabilités. La difficulté réside souvent dans la lecture de l'énoncé pour distinguer $P_A(B)$ de $P(A \cap B)$. Ici, on demande de retrouver une probabilité conditionnelle manquante (notée $x$) en utilisant la formule des probabilités totales à l'envers. C'est un raisonnement qui exige de bien poser ses équations.
• Partie B (Loi Binomiale & Seuil) : On passe à la répétition d'expériences identiques et indépendantes (Bernoulli), menant à la loi binomiale. Le calcul de $P(X \le 3)$ se fait généralement à la calculatrice. La dernière question est plus fine : elle demande de résoudre une inéquation du type $p_n < 0,01$ avec des logarithmes ($\\ln$) pour trouver une taille d'échantillon $n$. C'est une compétence transversale très attendue.

Exercice 2 : Suites Numériques et Algorithmique (5 points)

Le Contexte

On étudie une suite définie par récurrence $u_{n+1} = f(u_n)$ avec une fonction homographique. C'est l'exercice roi des sujets de Bac sur les suites.

Analyse Pédagogique

• Étude de la fonction : Avant de toucher à la suite, on étudie les variations de la fonction associée $f$. Cela sert de base pour la suite.
• Récurrence et Variations : L'élève doit démontrer par récurrence que la suite est minorée (ici par 2). Ensuite, l'étude du signe de $u_{n+1} - u_n$ permet de prouver la décroissance. Ces deux étapes mènent au théorème de convergence monotone.
• Suite Auxiliaire : Pour trouver la limite exacte, le sujet introduit une suite géométrique $(v_n)$. Il faut savoir manipuler les fractions pour prouver que le rapport $\\frac{v_{n+1}}{v_n}$ est constant. Une fois $v_n$ exprimé en fonction de $n$, on remonte à $u_n$.
• Python : L'exercice se clôt sur une fonction seuil. Il ne faut pas programmer, mais interpréter. La boucle while cherche le premier rang pour lequel la suite passe sous une certaine valeur, illustrant la notion de limite.

Exercice 3 : Géométrie dans l'Espace (5 points)

Le Contexte

Un exercice très complet qui fait appel à la vision spatiale. On manipule des coordonnées, des droites, des plans et des volumes.

Analyse Pédagogique

• Droites et Plans : On commence par du standard : représentation paramétrique d'une droite et son intersection avec un plan cartésien. Il faut être rigoureux dans la résolution du système d'équations paramétriques.
• Équation de Plan : On demande de vérifier qu'un vecteur est normal à un plan, puis d'en déduire l'équation cartésienne. C'est une application directe du produit scalaire : $\\vec{n} \\cdot \\vec{AB} = 0$ et $\\vec{n} \\cdot \\vec{AC} = 0$.
• Aires et Volumes : La fin de l'exercice demande de calculer le volume d'une pyramide. Cela nécessite de calculer d'abord l'aire de la base (un triangle isocèle) et de justifier la hauteur. Attention aux calculs de distances avec les racines carrées !

Exercice 4 : QCM d'Analyse (5 points)

Le Contexte

5 questions, 4 réponses, 1 seule exacte. Pas de justification demandée, mais le brouillon doit être impeccable pour ne pas deviner au hasard.

Analyse Pédagogique

• Q1 (TVI) : Résolution d'équation $f(x) = k$. Il faut visualiser le tableau de variations pour compter les solutions.
• Q2 (Limites) : Une limite en $-\\infty$ avec croissances comparées ou opérations simples. Attention aux signes !
• Q3 (Convexité) : On parle de point d'inflexion. Cela implique de dériver deux fois la fonction ($f''$) et d'étudier le changement de signe.
• Q4 (Tangente) : Application pure de la formule $y = f'(a)(x-a) + f(a)$ avec la fonction $\\ln$.
• Q5 (Logarithme) : Une équation qui ressemble à du second degré : $X^2 + 10X + 21 = 0$ en posant $X = \\ln(x)$. Un changement de variable classique mais efficace.

Conclusion

Ce sujet La Réunion 2023 est un "must-do". Il ne cherche pas à piéger l'élève mais valide solidement les compétences. Réussir ce sujet en temps imparti (3h30 - 4h) est un excellent indicateur de réussite pour l'examen final.