Analyse de l'Exercice 1 : Probabilités et Statistiques

Cet exercice du Baccalauréat Spécialité Mathématiques 2023 (Zone Polynésie, Sujet 1) est un classique de l'épreuve, combinant l'analyse probabiliste d'une population et l'étude d'un échantillonnage. Il permet d'évaluer la capacité des élèves à modéliser une situation concrète (ici, l'usage du vélo en ville) à l'aide d'outils mathématiques formels.

Compétences et clés de réussite

Pour traiter cet exercice avec succès, le candidat doit mobiliser plusieurs savoir-faire essentiels du programme de Terminale.

1. Modélisation par Arbre Pondéré et Probabilités Conditionnelles

La première partie (Partie A) repose entièrement sur la bonne construction d'un arbre de probabilités. La clé de la réussite réside dans la lecture attentive de l'énoncé pour distinguer :

• Les probabilités simples (probabilité d'appartenir à une tranche d'âge).
• Les probabilités conditionnelles (usage du vélo sachant l'âge).

Une fois l'arbre construit, l'élève doit appliquer la formule des probabilités totales pour calculer la probabilité d'un événement situé en bout de branche (ici l'événement $T$). Enfin, l'exercice demande de calculer une probabilité conditionnelle inverse (calculer $P_T(J)$), ce qui nécessite de revenir à la définition formelle $P_A(B) = P(A \cap B) / P(A)$.

2. Maîtrise de la Loi Binomiale

La Partie B bascule sur l'étude d'une variable aléatoire discrète. Les compétences attendues sont :

• Justifier le modèle : Il est impératif d'expliquer pourquoi la variable $X$ suit une loi binomiale (répétition d'épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, notion de succès/échec, tirage avec remise).
• Identifier les paramètres : Relever explicitement les valeurs de $n$ (taille de l'échantillon) et $p$ (probabilité du succès).
• Calculs sur la loi : Savoir calculer une probabilité cumulée du type $P(X \geqslant k)$. L'élève doit savoir manipuler l'événement contraire ou utiliser les fonctionnalités de sa calculatrice pour obtenir une valeur approchée précise.

En résumé, cet exercice 1 du sujet de Polynésie teste la rigueur dans la notation des événements et la maîtrise des calculs probabilistes standards sans présenter de piège conceptuel majeur.