Compétences et clés de réussite

Cet exercice est un Questionnaire à Choix Multiples (QCM) qui balaie plusieurs thèmes fondamentaux du programme de spécialité mathématiques. Pour réussir, le candidat doit faire preuve d'agilité en passant d'un domaine à l'autre sans justification formelle sur la copie, bien que le brouillon soit indispensable pour valider les calculs.

• Analyse et fonction exponentielle : La première question demande de calculer une dérivée seconde. La clé réside dans la bonne application de la formule de dérivation d'un produit $(uv)' = u'v + uv'$ combinée à la dérivée de la fonction composée $e^{u}$. Il faut être rigoureux dans la factorisation pour identifier la bonne forme parmi les choix proposés.
• Dénombrement et Combinatoire : La seconde question teste la capacité à modéliser une situation de choix. Il faut savoir identifier si l'ordre compte ou non. Ici, le choix de spécialités correspond à une combinaison (l'ordre n'importe pas), ce qui implique l'utilisation des coefficients binomiaux $\binom{n}{k}$.
• Lecture graphique et lien dérivée/fonction : Les questions 3 et 5 reposent sur le lien fondamental entre le signe de la dérivée $f'$ et les variations de la fonction $f$.
  • Savoir lire le signe d'une courbe (au-dessus ou en-dessous de l'axe des abscisses) pour en déduire les intervalles de croissance et décroissance de la primitive.
  • Inversement, savoir interpréter un tableau de variations pour statuer sur le signe de la dérivée sur un intervalle donné.
• Probabilités : La quatrième question fait appel aux relations entre événements. La compétence clé est de manipuler les formules d'union et d'intersection ($P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$) et de comprendre le lien avec l'événement contraire "ni A ni B". Un diagramme ou un tableau peut aider à visualiser la répartition des pourcentages pour isoler l'intersection recherchée.

Ce type d'exercice permet de vérifier rapidement la maîtrise des automatismes de calcul et la compréhension conceptuelle des objets mathématiques (courbes, dérivées, ensembles).