Compétences et clés de réussite

Cet exercice du Baccalauréat 2024 (Métropole Sujet 2) est un problème complet d'analyse mathématique couplé à une application géométrique. Il mobilise des compétences transversales allant de la simple lecture graphique à la modélisation d'un problème d'optimisation.

1. Lecture graphique et conjectures

La première partie exige une compréhension intuitive des objets mathématiques. Le candidat doit être capable de lire l'image d'un point et le nombre dérivé (pente de la tangente) directement sur le repère. L'analyse visuelle de la convexité (position de la courbe par rapport à ses tangentes) et la conjecture des racines de l'équation f(x) = 0 permettent d'anticiper les résultats démontrés ultérieurement.

2. Étude analytique de la fonction logarithme

La partie B constitue le cœur de l'exercice avec l'étude d'une fonction comportant un logarithme népérien. Les points clés incluent :

• Le calcul de limites, notamment aux bornes de l'ensemble de définition (ici en -2, impliquant une asymptote verticale).
• La maîtrise de la dérivation d'une fonction composée ln(u) et la réduction au même dénominateur pour étudier le signe de la dérivée f'.
• L'utilisation du Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI) pour prouver l'existence et l'unicité d'une solution alpha.
• L'étude de la dérivée seconde f'' pour déterminer rigoureusement la convexité et localiser un éventuel point d'inflexion.

3. Optimisation et lien avec la géométrie

La dernière partie propose une application concrète : minimiser une distance entre un point fixe et une courbe. La réussite repose sur la capacité à :

• Modéliser le problème en définissant une fonction h représentant le carré de la distance.
• Faire le lien entre la dérivée de cette nouvelle fonction h et la fonction f étudiée précédemment. C'est une étape classique où l'étude d'une fonction auxiliaire sert à résoudre le problème principal.
• Interpréter géométriquement le résultat (perpendicularité entre la tangente et le rayon vecteur) en utilisant la propriété du produit des coefficients directeurs.

Cet exercice est un excellent entraînement pour manipuler les fonctions logarithmes dans des contextes variés, alliant calcul algébrique pur et raisonnement géométrique.