Analyse de l'Exercice 1 : Probabilités et Loi Binomiale - Polynésie 2024 (Sujet 1)

Cet exercice du sujet de Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Polynésie, session 2024, Sujet 1) propose une situation classique de modélisation probabiliste appliquée à une concession automobile. Il se divise en deux parties distinctes : l'analyse d'événements aléatoires via des probabilités conditionnelles et l'étude d'un échantillon à l'aide d'une loi discrète.

Compétences et clés de réussite

Pour réussir cet exercice, les candidats doivent maîtriser les notions fondamentales des probabilités enseignées en classe de Terminale. Voici les points méthodologiques essentiels :

• Construction d'un arbre pondéré : La première étape consiste à traduire l'énoncé textuel en un arbre de probabilité. Il faut distinguer les probabilités simples (choix du véhicule) des probabilités conditionnelles (installation d'une borne sachant le type de véhicule). Une lecture attentive des pourcentages est cruciale pour éviter les inversions.
• Formule des probabilités totales : L'exercice demande de calculer la probabilité d'un événement situé au second niveau de l'arbre (ici l'événement B : « possibilité d'installer une borne »). L'utilisation de la formule des probabilités totales est indispensable, en additionnant les probabilités des chemins menant à cet événement.
• Probabilités conditionnelles inversées : Une question classique demande de calculer la probabilité de la cause sachant la conséquence (probabilité de choisir un véhicule électrique sachant qu'on peut installer une borne). La maîtrise de la formule de définition $P_B(E) = P(B \cap E) / P(B)$ est attendue.
• Justification de la Loi Binomiale : La seconde partie bascule sur un échantillon de 20 acheteurs. Le candidat doit identifier les mots-clés « tirage avec remise », « deux issues » et « répétition indépendante » pour justifier que la variable aléatoire suit une loi binomiale, dont il faudra préciser les paramètres $n$ et $p$.
• Calculs sur la loi binomiale : Que ce soit pour une valeur exacte $P(X=k)$ ou une probabilité cumulée $P(X \geq k)$, l'usage efficace de la calculatrice est recommandé, bien que la connaissance de la formule générale soit un atout pour justifier la démarche.
• Espérance et interprétation économique : Enfin, le calcul de l'espérance $E(X) = n \times p$ permet de répondre à une problématique concrète de coût moyen. Il faut savoir relier cette notion mathématique abstraite à la gestion financière de la concession décrite dans l'énoncé.

Cet exercice constitue un excellent entraînement pour le Bac, car il balaye l'ensemble du chapitre sur les probabilités discrètes sans présenter de difficulté technique majeure, à condition de faire preuve de rigueur dans la rédaction et la modélisation.