Analyse du sujet et contexte
Cet exercice de mathématiques, extrait du Baccalauréat 2022 pour la zone Nouvelle-Calédonie (Sujet 2), aborde l'un des piliers du programme de Terminale : les probabilités. Le contexte est concret et accessible, basé sur des statistiques de tirs au basket-ball, distinguant les tirs à deux points et à trois points. L'exercice est structuré de manière classique, commençant par des probabilités conditionnelles pour évoluer vers l'étude d'une variable aléatoire suivant une loi binomiale.
Compétences et clés de réussite
Pour réussir cet exercice, le candidat doit maîtriser plusieurs compétences fondamentales :
1. Modélisation par un arbre pondéré
La première étape cruciale consiste à traduire les données de l'énoncé (pourcentages de types de tirs et taux de réussite associés) en un arbre de probabilités. Il faut être capable de distinguer les probabilités simples (choix du tir) des probabilités conditionnelles (réussite sachant le type de tir). Une lecture attentive est nécessaire pour ne pas confondre \(P(A \cap B)\) et \(P_A(B)\).
2. Calculs de probabilités et formule des probabilités totales
L'exercice demande de calculer la probabilité d'une intersection, puis la probabilité totale d'un événement (ici, réussir un tir). L'utilisation de la formule des probabilités totales est indispensable. Par la suite, le calcul d'une probabilité conditionnelle inverse (probabilité de la cause sachant la conséquence) nécessite une application rigoureuse de la définition : \(P_R(T) = \frac{P(R \cap T)}{P(R)}\).
3. Maîtrise de la Loi Binomiale
La seconde partie introduit la répétition d'expériences identiques et indépendantes (les tirs successifs). Le candidat doit identifier les critères de la loi binomiale (épreuve de Bernoulli, répétition, indépendance) et préciser ses paramètres \(n\) et \(p\).
4. Interprétation des événements et usage de la calculatrice
Une difficulté subtile réside dans l'interprétation des questions du type "rater 4 tirs ou plus" ou "rater au plus 4 tirs". Puisque la variable aléatoire \(X\) compte souvent les réussites, il faut traduire ces énoncés en inégalités sur \(X\) (par exemple, rater 4 tirs sur 10 équivaut à en réussir 6). Une bonne maîtrise des fonctions de la calculatrice pour déterminer \(P(X \leq k)\) ou \(P(X \geq k)\) est requise.
5. Recherche de seuil (Inéquation)
La dernière question est un classique : déterminer le nombre minimal \(n\) de répétitions pour atteindre une certaine probabilité de réussite (souvent "au moins un succès"). Cela implique de passer par l'événement contraire ("aucun succès") et de résoudre une inéquation de la forme \(1 - p^n \geq 0,99\), nécessitant souvent l'utilisation du logarithme népérien pour isoler \(n\).