Analyse pédagogique de l'exercice

Cet exercice issu du Bac STL 2022 (Métropole) est un excellent condensé du programme de mathématiques de terminale. Il se présente sous forme de questions indépendantes (QCM ou questions courtes), permettant d'évaluer la polyvalence des candidats. L'analyse des fonctions exponentielles y tient une place centrale. La première question demande de dériver une fonction produit du type (uv). L'erreur classique à éviter ici est d'oublier la règle de la chaîne pour la dérivation de exp(-x), dont la dérivée est -exp(-x).

Compétences techniques requises

Pour réussir ce sujet, plusieurs compétences clés sont mobilisées :

• Calcul différentiel : Maîtriser la formule (uv)' = u'v + uv' et connaître les dérivées usuelles des fonctions composées avec l'exponentielle.
• Résolution d'équations : Comprendre que l'exponentielle ne s'annule jamais, ce qui simplifie la résolution de f(x) = 0 au simple traitement du facteur polynomial.
• Analyse graphique : Savoir interpréter le signe de la dérivée g' pour en déduire les variations de la fonction g. C'est un point de vigilance majeur : la courbe représente g', pas g.
• Propriétés algébriques : Utiliser les règles des logarithmes, notamment ln(a^n) = n ln(a) et la définition de la racine carrée comme puissance 1/2.
• Géométrie vectorielle : Calculer un produit scalaire par projection ou par coordonnées. Dans le cas présent, la projection orthogonale est la méthode la plus rapide.

Interprétation des résultats et méthodologie

La question sur la limite en moins l'infini (Q5) teste la croissance comparée et les limites de base. Il est crucial de se rappeler que lim (x -> -inf) exp(X) = 0. Enfin, la géométrie (Q6) demande une bonne vision spatiale pour identifier que le vecteur BD se projette sur l'axe de BF dans le sens opposé, ce qui implique un produit scalaire négatif. Ce type d'exercice 'au choix' permet de sécuriser des points rapidement si l'on maîtrise ses fondamentaux.