Analyse du Sujet de Bac STL 2022 - Polynésie (Mathématiques)

Le sujet de Mathématiques de la série STL (Sciences et Technologies de Laboratoire) lors de la session de Polynésie 2022 illustre parfaitement l'ancrage des mathématiques dans les problématiques concrètes des laboratoires et des technologies modernes. Ce sujet se concentre sur l'étude de l'énergie stockée dans une batterie de téléphone, un thème qui croise les mathématiques, la physique-chimie et l'ingénierie durable.

En tant qu'expert STL, l'analyse de ce sujet révèle une structure pédagogique classique mais efficace, demandant aux élèves de maîtriser l'outil exponentiel, la modélisation et l'interprétation algorithmique.

Structure Globale et Compétences Attendues

Le candidat doit choisir 4 questions parmi les 6 proposées. Cette souplesse permet aux élèves de mettre en avant leurs points forts (analyse pure, programmation ou calcul intégral). L'exercice repose sur une fonction de type f(t) = a e^-t + b, caractéristique des processus de charge et de décharge (circuits RC) ou de cinétique chimique de premier ordre.

Analyse par Question

Question 1 : Modélisation et Comportement Asymptotique

Cette question porte sur la détermination de paramètres réels à partir de conditions initiales et de limites.

• Maths : La limite de e^-t vers l'infini est 0, ce qui permet d'identifier b comme l'asymptote horizontale (la capacité maximale).
• Contexte STL : On identifie ici la saturation du système. La batterie ne peut pas stocker plus que sa capacité physique (0,715 kW·h). C'est une notion de régime permanent en physique.

Question 2 : Inéquation et Réalité Physique

Démontrer que f(t) < 0,715 revient à prouver que le terme -0,715 e^-t reste strictement négatif. Pour un élève de STL, cela signifie que la batterie n'atteint jamais théoriquement la charge parfaite, mais s'en approche indéfiniment. C'est le principe du comportement asymptotique des systèmes physiques amortis.

Question 3 : Étude de Variations

La dérivation d'une fonction exponentielle est un attendu majeur du programme.

• Calcul : f'(t) = 0,715 e^-t. Comme l'exponentielle est toujours positive, la fonction est strictement croissante.
• Interprétation : Cela confirme que l'énergie stockée augmente continuellement pendant la phase de charge, ce qui est cohérent avec le phénomène observé en laboratoire.

Question 4 : La Demi-Charge (Le Temps de Réaction)

Le calcul de la durée de demi-charge est un classique en STL, rappelant la demi-vie en radioactivité ou en pharmacocinétique. L'équation à résoudre est f(t) = 0,3575. La manipulation du logarithme népérien (ln) est ici indispensable pour isoler t. Le résultat (environ 41 min 35 s) demande une conversion précise des heures en minutes/secondes, une compétence de base en métrologie.

Question 5 : Algorithmique et Simulation Python

Le script Python présenté simule un processus itératif avec un pas de temps de 1/60 (soit une minute).

• Logique : La boucle while continue tant que le seuil de pourcentage n'est pas atteint.
• Interprétation : Pour 15% de charge (temps(0.15)), le programme renvoie le temps nécessaire pour atteindre cet état. C'est une introduction à la méthode d'Euler ou à la simulation numérique de processus expérimentaux.

Question 6 : Intégration et Valeur Moyenne

L'exercice se termine sur le calcul d'une valeur moyenne via une primitive F fournie.

• Lien STL : La valeur moyenne d'une grandeur est cruciale pour évaluer le rendement d'un système sur une période donnée. Il s'agit de comparer l'énergie moyenne sur 3,5h avec la capacité maximale.
• Difficulté : La justification nécessite de calculer m précisément et de le comparer à 0,3575 (la moitié du maximum).

Conclusion

Ce sujet de Polynésie 2022 est un excellent support de révision car il balaie l'ensemble du spectre de l'analyse en terminale STL. Il demande à la fois de la rigueur mathématique (dérivation, primitives) et une capacité à extraire du sens physique de résultats numériques.