Introduction au Sujet Bac STL 2022 Métropole

L'épreuve de mathématiques pour la filière Sciences et Technologies de Laboratoire (STL) est conçue pour évaluer non seulement la rigueur algébrique des élèves, mais aussi leur capacité à interpréter des modèles mathématiques au service des sciences appliquées. Le sujet Métropole de la session 2022 se distingue par une approche modulaire, proposant 6 questions couvrant les piliers du programme, dont l'étudiant doit en traiter 4. Ce format permet de valoriser les compétences sur les fonctions transcendantes (exponentielles et logarithmes) et la géométrie vectorielle.

Analyse par Exercice et Questions

Question 1 et 2 : Maîtrise de la fonction exponentielle

Les deux premières questions portent sur l'étude d'une fonction de type f(x) = (ax + b)e^{-x}. C'est un grand classique du Bac STL. En mathématiques pures, l'exercice demande d'appliquer la règle de dérivation d'un produit (uv)' = u'v + uv'.

Lien avec le laboratoire : Ce type de fonction est omniprésent en cinétique chimique ou en biochimie. Elle modélise souvent une concentration qui augmente rapidement avant de s'amortir (phénomène d'absorption suivi d'une élimination). Savoir résoudre f(x) = 0 permet de déterminer le moment où une réaction atteint son terme ou quand un composé est totalement consommé.

Question 3 : Interprétation graphique et dérivée

La question 3 propose un défi conceptuel : utiliser le signe de la dérivée g' pour déduire les variations de la fonction g. Ici, le graphique montre que la dérivée n'est pas toujours de même signe sur l'intervalle [0 ; 13].

Difficulté spécifique : L'erreur classique est de confondre la lecture de la courbe (croissante/décroissante) avec le signe de l'ordonnée (positif/négatif). En STL, cette compétence est cruciale pour interpréter des capteurs en temps réel : si la vitesse de réaction (la dérivée) devient négative, la quantité de produit diminue.

Question 4 : Propriétés du logarithme népérien

Cette question de calcul pur demande de simplifier un rapport de logarithmes. L'utilisation des propriétés ln(√a) = 1/2 ln(a) est la clé.

Contexte scientifique : Le logarithme est l'outil de base pour le calcul du pH, des pKa ou encore de l'absorbance en spectrophotométrie (Loi de Beer-Lambert). Une maîtrise parfaite des propriétés algébriques du logarithme évite des erreurs fatales lors de dosages complexes en laboratoire.

Question 5 : Étude de limites et comportements asymptotiques

La limite en moins l'infini d'une fonction exponentielle simple teste la connaissance du cours sur la croissance comparée. Savoir que e^{6x} tend vers 0 quand x tend vers -∞ est indispensable.

Lien concret : En physique, cela correspond souvent à l'étude d'un état initial (t = 0 ou t tendant vers -∞ dans certains modèles théoriques) pour comprendre la ligne de base d'un instrument de mesure.

Question 6 : Géométrie et Produit Scalaire

Le calcul du produit scalaire BF · BD dans une configuration géométrique mêlant carré et triangle rectangle demande l'utilisation de la projection orthogonale ou de la formule avec le cosinus.

Application STL : Bien que moins fréquente en biochimie, la géométrie vectorielle est fondamentale en Physique-Chimie pour le calcul des moments de forces ou l'étude de la diffraction de la lumière, où les angles et les projections déterminent l'intensité des signaux reçus par les détecteurs.

Conclusion

Ce sujet de 2022 est un excellent entraînement car il balaie les fondamentaux sans artifice inutile. Pour réussir, le candidat STL doit privilégier la compréhension du lien entre le signe de la dérivée et le sens de variation, tout en étant à l'aise avec les manipulations algébriques des fonctions exponentielles.