Analyse Pédagogique : La Modélisation Thermique en STI2D

Cet exercice du Bac STI2D de la session 2022 en Nouvelle-Calédonie est un cas d'école sur la modélisation physique par les mathématiques. Il repose sur la loi de refroidissement de Newton, un thème classique qui permet de lier les équations différentielles du premier degré aux phénomènes réels observés en ingénierie thermique. L'objectif est de vérifier la capacité de l'élève à traduire un énoncé textuel en équation mathématique et à exploiter une fonction exponentielle.

Compétences Techniques et Mathématiques Requises

Pour briller sur ce sujet, plusieurs piliers du programme de terminale STI2D sont mobilisés :

• Les Équations Différentielles : La transition entre la relation physique \(\theta'(t) = \alpha(\theta(t) - A)\) et la forme standard \(y' = ay + b\). Ici, l'élève doit identifier que \(\theta'(t) = -0,1(\theta(t) - 20)\) mène à \(y' = -0,1y + 2\).
• Analyse de Fonction : La dérivation de la fonction \(\theta(t) = 580 e^{-0,1t} + 20\). La pente de la tangente correspond au calcul de \(\theta'(10)\). Il est crucial de maîtriser la dérivée de \(e^{ux}\).
• Comportement Asymptotique : Le calcul de limite en \(+\infty\) permet de comprendre la stabilisation de la température vers la température ambiante (20°C), une notion fondamentale en thermique industrielle.
• Algorithmique avec Python : La structure de contrôle while est ici utilisée pour un balayage. L'élève doit comprendre que la boucle s'arrête dès que la condition (Température > 40) n'est plus vérifiée.

Le Lien entre Mathématiques et Physique-Chimie (STI2D)

Ce sujet illustre parfaitement l'interdisciplinarité. La résolution de l'inéquation \(580 e^{-0,1t} + 20 \leq 40\) nécessite l'usage des logarithmes népériens (ln) pour isoler la variable temporelle \(t\). Cette manipulation algébrique est indispensable pour déterminer des seuils de sécurité ou des durées de processus industriels.