Analyse Pédagogique du Sujet

Cet exercice de la session de septembre 2024 en Métropole est un classique du tronc commun de mathématiques pour la filière STI2D. Il balaye un spectre large de compétences, allant de l'analyse fonctionnelle aux nombres complexes, en passant par le calcul intégral. Sa structure hybride (QCM sans justification et questions ouvertes) permet d'évaluer à la fois l'automatisme de calcul et la rigueur de la rédaction.

Compétences Techniques Décortiquées

L'exercice est découpé en quatre thématiques clés :

• Propriétés des Logarithmes : La première question nécessite une maîtrise parfaite des propriétés algébriques de la fonction ln, notamment $\ln(a^n) = n\ln(a)$ et $\ln(a/b) = \ln(a) - \ln(b)$. Ici, transformer $3\ln(2x)$ en $\ln(8x^3)$ est l'étape cruciale pour simplifier avec $-\ln(8)$.
• Dérivation de Fonctions Composées : La question 2 porte sur la dérivation d'un produit $u \times v$ où l'une des fonctions est une exponentielle de type $e^{ax}$. La capacité à factoriser l'expression finale pour identifier la bonne réponse est une compétence fondamentale en ingénierie.
• Nombres Complexes : Le passage de la forme exponentielle à la forme algébrique (et inversement) est indispensable. Pour $z_A$, il faut utiliser les valeurs remarquables du cercle trigonométrique. Pour $z_B$, le calcul du module $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ et la recherche de l'argument via le cosinus et le sinus sont testés.
• Calcul Intégral : La dernière question évalue la recherche d'une primitive de $\cos(ax)$. Il ne faut pas oublier le coefficient $1/a$ lors de la primitivation pour obtenir $\frac{1}{2}\sin(2x)$.

Conseils de Réussite

En STI2D, ces points sont souvent considérés comme des points 'faciles' car ils reposent sur des formules directes du cours. La gestion du temps est ici essentielle : ne pas passer plus de 15 minutes sur ces quatre questions pour préserver du temps pour les problèmes plus complexes.