Introduction au sujet Bac STI2D 2022 (Centres Étrangers)

Le sujet de mathématiques de la session 2022 pour les centres étrangers offre un panorama complet des compétences attendues d'un élève de STI2D. Ce sujet se distingue par une structure sous forme de questions indépendantes (choix de 4 parmi 6), permettant de balayer les grands thèmes du programme : analyse de fonctions (exponentielles, logarithmes), nombres complexes, équations différentielles et traitement de signal. Pour un futur ingénieur ou technicien supérieur, ces outils sont fondamentaux pour modéliser des phénomènes physiques, thermiques ou électriques.

Analyse de la Question 1 : Étude de fonction et dérivée

La première question porte sur l'analyse d'une fonction $g$ à travers sa dérivée $g'(t) = 6e^{-t}(1-t)$. C'est un grand classique de la spécialité mathématiques STI2D. L'élève doit mobiliser ses connaissances sur la fonction exponentielle, notamment le fait que $e^{-t}$ est toujours strictement positif. Le signe de la dérivée ne dépend donc que du facteur $(1-t)$.

• Difficulté : Faible. Il s'agit d'une étude de signe de premier degré.
• Lien ingénierie : Ce type de fonction modélise souvent des réponses transitoires dans des systèmes automatisés (réponse d'un capteur ou décharge d'un condensateur).

Analyse de la Question 2 : Géométrie et Nombres Complexes

Cette question demande d'associer des affixes complexes sous forme exponentielle à des points sur un cercle trigonométrique. L'utilisation des arguments $\frac{5\pi}{6}$ et $-\frac{2\pi}{3}$ est cruciale. La deuxième partie sur le quotient $\frac{z_A}{z_B}$ utilise les propriétés opératoires des arguments : $arg(\frac{a}{b}) = arg(a) - arg(b)$.

Le résultat $-\frac{\pi}{2}$ indique une perpendicularité entre les vecteurs associés, une notion essentielle pour l'étude des déphasages dans les circuits à courant alternatif (diagrammes de Fresnel).

Analyse de la Question 3 : Équations Logarithmiques

La résolution d'équations avec $\ln(x)$ demande une rigueur méthodologique : définir l'ensemble de validité avant tout calcul. Ici, $x > 1$ est la condition sine qua non. L'utilisation des propriétés $\ln(a) + \ln(b) = \ln(ab)$ permet de transformer l'équation. C'est une excellente préparation pour les calculs de gains en décibels ($dB$) rencontrés en enseignements technologiques transversaux.

Analyse de la Question 4 : Équations Différentielles du premier ordre

L'équation $y' = -y + 2$ est de la forme $y' = ay + b$. La solution générale est $f(x) = Ce^{-x} + 2$. La détermination de la constante $C$ avec la condition initiale $f(0)=0$ est une étape clé. En STI2D, les équations différentielles permettent de prévoir l'évolution d'une température ou de la vitesse d'un moteur soumis à un échelon de tension.

Analyse de la Question 5 : Croissances Comparées et Limites

La factorisation par le terme prépondérant $e^x$ est la technique standard pour lever une forme indéterminée de type "$\infty - \infty$". L'élève doit savoir que $\lim_{x \to +\infty} \frac{x^n}{e^x} = 0$ (théorème des croissances comparées). Cette maîtrise des limites est indispensable pour l'étude de la stabilité des systèmes en boucle fermée.

Analyse de la Question 6 : Trigonométrie et Signal Électrique

Certainement la question la plus proche du cœur de métier STI2D. Transformer une somme de sinus et cosinus en une expression unique $A\cos(\omega t + \phi)$ est une compétence de base en GE (Génie Électrique). Le calcul de l'amplitude ($R=2$) et de la phase ($\phi = \frac{\pi}{6}$) permet de résoudre des équations d'interférence ou de puissance électrique. L'aide du cercle trigonométrique fourni est une aide précieuse pour ne pas se tromper dans les valeurs remarquables.

Conclusion et conseils de révision

Pour réussir ce type de sujet, l'élève doit être capable de basculer rapidement d'un domaine à l'autre. Le secret réside dans la maîtrise des formules de base (dérivées, propriétés des logs/expos, valeurs trigonométriques) et dans la lecture attentive des énoncés techniques. Ce sujet étranger de 2022 est un excellent entraînement pour tester sa polyvalence avant l'épreuve finale.