Analyse de l'énoncé et thématiques abordées
Cet exercice, issu du sujet de Première Enseignement Spécifique 2026 en Polynésie, porte sur la modélisation de situations réelles à l'aide des suites numériques. Il s'agit d'un classique du programme qui oppose deux types d'évolutions : une évolution linéaire (soustraction constante) et une évolution exponentielle (diminution proportionnelle). L'objectif est de vérifier la capacité de l'élève à identifier la nature d'une suite (arithmétique ou géométrique), à utiliser des outils numériques (tableur) et à interpréter des résultats graphiques.
Points de vigilance et notions clés
- Reconnaissance du type de suite : Une réduction d'une valeur fixe (15 tonnes) traduit une suite arithmétique. Une réduction d'un pourcentage (8 %) traduit une suite géométrique de coefficient multiplicateur $1 - 0,08 = 0,92$.
- Modélisation : Savoir passer du texte à la formule de récurrence $u_{n+1} = f(u_n)$ puis à la forme explicite $u_n = f(n)$.
- Interprétation graphique : Une suite arithmétique est représentée par des points alignés, tandis qu'une suite géométrique suit une courbe de type exponentiel.
Correction détaillée et guide de résolution
Partie A : Analyse Graphique
1. Justification : L'entreprise A réduit ses déchets de 15 tonnes par an de façon constante. Sa production suit donc une décroissance linéaire. Sur le graphique, ce sont les points marqués d'une croix qui sont alignés, ce qui correspond à une suite arithmétique. De plus, pour $n=0$, l'entreprise A produit 500 tonnes, ce qui correspond bien à l'ordonnée à l'origine du premier point marqué d'une croix.
2. Lecture graphique : L'entreprise B produit moins de déchets que l'entreprise A lorsque les points ronds passent sous les points en croix. Cela se produit à partir du rang $n=4$ (année 2024).
3. Objectif 2030 : En 2030 ($n=10$), le graphique indique que l'entreprise A produit 350 tonnes. La moitié de sa production initiale est $500 / 2 = 250$ tonnes. Comme $350 > 250$, l'objectif n'est pas atteint.
Partie B : Étude des suites
1. Entreprise A (Suite Arithmétique) :
- $u_1 = u_0 - 15 = 500 - 15 = 485$. Cela signifie qu'en 2021, l'entreprise A produit 485 tonnes de déchets.
- La suite $(u_n)$ est arithmétique car on passe d'un terme au suivant en retranchant toujours la même valeur (15). Sa raison est $r = -15$.
- Formule tableur (C4) :
=C3-15.
- Objectif (réduire de moitié) : On cherche $u_n \le 250$. D'après le tableau, $u_{20} = 200$ et $u_{19} = 215$ ? Non, regardons bien : $u_{16} = 260$ et $u_{17} = 245$. L'objectif est atteint au bout de 17 ans (en 2037).
2. Entreprise B (Suite Géométrique) :
- Diminuer de 8 % revient à multiplier par $1 - 0,08 = 0,92$. Donc $v_{n+1} = 0,92 v_n$.
- $(v_n)$ est une suite géométrique de premier terme $v_0 = 600$ et de raison $q = 0,92$.
- Forme explicite : $v_n = v_0 \times q^n = 600 \times 0,92^n$.
- Objectif (réduire de moitié) : On cherche $v_n \le 300$, soit $600 \times 0,92^n \le 300$, ce qui équivaut à $0,92^n \le 0,5$. Dans le tableau fourni, on voit que $0,92^8 = 0,51$ et $0,92^9 = 0,47$. Le seuil est donc franchi pour $n=9$. L'entreprise B atteindra son objectif au bout de 9 ans.