Analyse de l'énoncé
Cet exercice de mathématiques pour la classe de Première Spécialité propose un problème classique de poursuite. L'objectif est de déterminer le point d'interception de deux mobiles (une tortue et un escargot) ayant des positions initiales et des vitesses constantes différentes. Bien que l'énoncé soit formulé de manière simple, il fait appel à des compétences fondamentales en modélisation mathématique et en résolution d'équations.
Points de vigilance et notions requises
Pour réussir cet exercice, plusieurs points techniques doivent être maîtrisés :
- La conversion des unités : L'escargot se déplace à 50 cm/min tandis que la tortue avance à 2 m/min. Il est impératif d'exprimer toutes les données dans la même unité (en mètres) pour éviter toute erreur de calcul. Ainsi, 50 cm = 0,5 m.
- La définition des variables : Il faut choisir une variable temporelle $t$ (en minutes) représentant le temps écoulé depuis le départ.
- La modélisation par des suites ou des fonctions : On peut modéliser la position de la tortue par une suite arithmétique $u_n = 2n$ ou une fonction affine $f(t) = 2t$. De même pour l'escargot : $v_n = 12 + 0,5n$ ou $g(t) = 0,5t + 12$.
Correction détaillée et guide de résolution
Soit $t$ le temps écoulé en minutes à partir du départ de la course. Nous cherchons la position $x$ sur l'axe gradué pour chaque concurrent.
1. Mise en équation :
La tortue part de $x=0$ avec une vitesse de $2$ m/min. Sa position à l'instant $t$ est donnée par : $x_T(t) = 2t$.
L'escargot part de $x=12$ avec une vitesse de $0,5$ m/min. Sa position à l'instant $t$ est donnée par : $x_E(t) = 12 + 0,5t$.
2. Résolution :
La tortue rattrape l'escargot lorsque leurs positions sont identiques, soit $x_T(t) = x_E(t)$. On résout l'équation suivante :
$2t = 12 + 0,5t$
$2t - 0,5t = 12$
$1,5t = 12$
$t = rac{12}{1,5} = 8$.
La tortue rattrape l'escargot après 8 minutes.
3. Conclusion sur l'emplacement :
Pour trouver l'abscisse du point de rencontre, on remplace $t$ dans l'une des deux expressions de position :
$x = 2 imes 8 = 16$.
La tortue rattrapera l'escargot au point d'abscisse $x = 16$ (soit à 16 mètres du départ de la tortue).
Interprétation pédagogique
Cet exercice préfigure l'étude des suites arithmétiques. En Première Spécialité, savoir traduire un énoncé concret en un modèle mathématique (ici une égalité de fonctions affines ou de termes de suites) est une compétence clé évaluée lors des épreuves de contrôle continu. La clarté du raisonnement et la rigueur dans la gestion des unités sont ici plus importantes que la complexité du calcul final.