Analyse de l'énoncé
Cet exercice de mathématiques pour la classe de Première Spécialité porte sur l'étude comparée de deux évolutions de populations : l'une modélisée par une suite arithmétique (le club de basketball) et l'autre par une suite géométrique (le club de handball). L'objectif est de maîtriser les passages entre les formes de récurrence et les formes explicites, d'interpréter des graphiques et de résoudre des problèmes de seuil.
Points de vigilance et notions requises
- Suite arithmétique : Reconnaître une variation absolue constante (perte de 10 adhérents par an). La formule explicite est $u_n = u_0 + n \times r$.
- Suite géométrique : Identifier un coefficient multiplicateur (raison $q = 1,2$ ici). La formule explicite est $v_n = v_0 \times q^n$.
- Lecture graphique : Précision des coordonnées sur un repère avec une grille fine.
- Problème de seuil : Savoir comparer deux suites pour déterminer à quel moment l'une dépasse l'autre (souvent par tâtonnement à la calculatrice ou algorithme).
Correction détaillée
1. Calcul de $B_1$ : En 2025 ($n=0$), le club a 900 adhérents. En 2026 ($n=1$), il en perd 10. $B_1 = 900 - 10 = 890$. Le club compte 890 adhérents en 2026.
2. Expression de $B_n$ : Comme le nombre diminue de 10 chaque année, $(B_n)$ est une suite arithmétique de premier terme $B_0 = 900$ et de raison $r = -10$. L'expression est : $B_n = 900 - 10n$.
3. Perte de 10 % : En 2035, $n = 2035 - 2025 = 10$. Calculons $B_{10} = 900 - 10 \times 10 = 800$. Le club a perdu $900 - 800 = 100$ adhérents. La proportion de perte est $\frac{100}{900} \approx 11,11 \%$. Comme $11,11 > 10$, l'affirmation est justifiée.
4. Lecture graphique : En 2028, on a $n=3$. Sur le graphique, pour l'abscisse 3, l'ordonnée est d'environ 346 adhérents.
5. Nature de la suite $(H_n)$ : La relation $H_{n+1} = 1,2 \times H_n$ montre que $(H_n)$ est une suite géométrique de raison $q = 1,2$ et de premier terme $H_0 = 200$.
6. Comparaison : On cherche $n$ tel que $H_n > B_n$. On utilise la calculatrice (Tableau de valeurs) :
- Pour $n=7$ : $H_7 \approx 717$ et $B_7 = 900 - 70 = 830$.
- Pour $n=8$ : $H_8 \approx 860$ et $B_8 = 900 - 80 = 820$.
L'inégalité est vérifiée pour $n=8$, soit en 2033.