Analyse de l'énoncé

Cet exercice, issu du sujet Antilles 2026, propose une étude comparative de deux modèles de croissance au sein de deux forêts distinctes. Il permet d'aborder les deux types de suites fondamentales du programme de Première Enseignement Spécifique : la suite arithmétique (Partie A) et la suite géométrique (Partie B). L'objectif final est de confronter ces modèles à l'aide d'un outil numérique (tableur) pour déterminer le seuil de basculement entre une croissance linéaire et une croissance exponentielle.

Points de vigilance et notions requises

Pour réussir cet exercice, plusieurs compétences clés sont nécessaires :

• Identifier la nature d'une suite : Reconnaître qu'une augmentation constante en valeur absolue (ex: +100 arbres) définit une suite arithmétique, tandis qu'une augmentation en pourcentage (ex: +5 %) définit une suite géométrique.
• Coefficient multiplicateur : Savoir qu'une hausse de 5 % revient à multiplier par 1,05 ($1 + \frac{5}{100}$).
• Formules explicites : Maîtriser $u_n = u_0 + n \times r$ pour l'arithmétique et $v_n = v_0 \times q^n$ pour la géométrique.
• Inéquations : Résoudre une inéquation simple pour déterminer une année charnière.

Correction détaillée

Partie A :

1. $u_1 = u_0 + 100 = 1300$ et $u_2 = 1300 + 100 = 1400$. Au 1er janvier 2012, il y aura 1400 arbres dans la première forêt.
2. Chaque année, on ajoute 100, donc $u_{n+1} = u_n + 100$. La suite $(u_n)$ est une suite arithmétique de premier terme $u_0 = 1200$ et de raison $r = 100$.
3. La formule explicite est $u_n = 1200 + 100n$.
4. On cherche $n$ tel que $u_n > 2950$ :
   $1200 + 100n > 2950 \Rightarrow 100n > 1750 \Rightarrow n > 17,5$.
   L'entier minimal est $n = 18$. $2010 + 18 = 2028$. La forêt comptera plus de 2950 arbres en 2028.

Partie B :

1. Augmentation de 5 % : $1000 \times 1,05 = 1050$. Au 1er janvier 2011, il y aura 1050 arbres.
2. On multiplie par 1,05 à chaque étape, donc $(v_n)$ est géométrique de raison $q = 1,05$.
3. 2030 correspond à $n = 20$ ($2030 - 2010$). On a calculé $v_{20}$. Le calcul effectué est $v_{20} = 1000 \times 1,05^{20}$.

Partie C :

La dernière colonne indique qu'en $n=29$ (année 2039), le nombre d'arbres de la seconde forêt ($4116$) dépasse pour la première fois celui de la première forêt ($4100$). C'est le point d'intersection des deux modèles de croissance.