Analyse de l'énoncé

Cet exercice de niveau Première Spécialité Mathématiques porte sur la modélisation d'un phénomène physique : le refroidissement. Il compare deux approches mathématiques. La Partie A explore un modèle linéaire (évolution proportionnelle), tandis que la Partie B introduit une suite géométrique pour modéliser une baisse en pourcentage.

Points de vigilance et notions requises

• Modélisation linéaire : Comprendre que la baisse proportionnelle correspond à une fonction affine (ou une suite arithmétique).
• Suites géométriques : Savoir traduire une baisse de 20% par un coefficient multiplicateur de \(0,8\) (\(1 - \frac{20}{100}\)).
• Terme général : Utiliser la formule \(U_n = U_0 \times q^n\).
• Écart de température : Faire attention à la distinction entre la température du plat et l'écart \(U_n\) avec la température ambiante.

Guide de résolution détaillé

Partie A : Modèle Linéaire

1. En 3 minutes, la température passe de \(180\text{\textdegree C}\) à \(105\text{\textdegree C}\). La baisse totale est de \(180 - 105 = 75\text{\textdegree C}\). En 1 minute, la baisse est de \(75 / 3 = 25\text{\textdegree C}\).
2. Après 5 minutes : \(180 - (5 \times 25) = 180 - 125 = 55\text{\textdegree C}\).
3. Après 8 minutes : \(180 - (8 \times 25) = 180 - 200 = -20\text{\textdegree C}\). Ce modèle n'est pas pertinent car la température du plat ne peut pas descendre en dessous de la température ambiante (\(25\text{\textdegree C}\)).

Partie B : Modèle Géométrique

1. \(U_0\) est l'écart initial : \(180 - 25 = 155\).
2. a) Diminuer de 20%, c'est multiplier par \(0,8\). Donc \(U_{n+1} = 0,8U_n\).
b) La suite \((U_n)\) est donc une suite géométrique de premier terme \(U_0 = 155\) et de raison \(q = 0,8\).
c) Formule explicite : \(U_n = 155 \times 0,8^n\).
3. Le plat est servi si Température \(\le 40\), soit \(T_n - 25 \le 15\). On cherche \(n\) tel que \(U_n \le 15\). En lisant le tableau fourni : \(U_{10} \approx 16,8\) et \(U_{11} \approx 13,4\). Victor pourra donc servir le plat au bout de 11 minutes.