Analyse de l'énoncé
Cet exercice porte sur la modélisation de l'évolution d'une population (croissance de champignons) à l'aide de deux types de suites numériques : les suites arithmétiques dans la Partie A et les suites géométriques dans la Partie B. L'objectif est de comparer une croissance linéaire et une croissance exponentielle, une compétence fondamentale du programme de Première Enseignement Spécifique.
Points de vigilance
- L'unité de temps : Dans la Partie A, \(n\) représente des périodes de 10 minutes. Dans la Partie B, \(n\) représente des périodes de 40 minutes. La conversion est cruciale.
- Nature de la suite : Pour justifier une suite arithmétique, on montre que \(u_{n+1} - u_n\) est constant. Pour une suite géométrique, on montre que \(v_{n+1} / v_n\) est constant.
- Allure graphique : Une suite arithmétique est représentée par des points alignés, tandis qu'une suite géométrique de raison \(q > 1\) présente une croissance accélérée (convexe).
Correction Détaillée
Partie A : Modèle arithmétique
1. On observe que \(u_1 - u_0 = 125 - 100 = 25\), \(u_2 - u_1 = 150 - 125 = 25\) et \(u_3 - u_2 = 175 - 150 = 25\). La différence est constante (\(d = 25\)), donc la suite est arithmétique.
2. Deux heures correspondent à 120 minutes. Comme chaque période \(n\) dure 10 minutes, on cherche \(u_{12}\).
\(u_{12} = u_0 + 12 \times 25 = 100 + 300 = 400\).
Le nombre initial était 100. \(400 = 4 \times 100\), la population a donc bien quadruplé.
Partie B : Modèle géométrique
1. On calcule les rapports : \(v_1 / v_0 = 200/100 = 2\), \(v_2 / v_1 = 400/200 = 2\), \(v_3 / v_2 = 800/400 = 2\). Le rapport est constant (\(q = 2\)), la suite est géométrique.
2. La suite est géométrique avec une raison \(q=2 > 1\). La croissance est exponentielle. Le Graphique 1 est le seul présentant cette allure convexe caractéristique.
3. Quatre heures correspondent à 240 minutes. Soit \(n = 240 / 40 = 6\) périodes.
\(v_6 = v_0 \times q^6 = 100 \times 2^6 = 100 \times 64 = 6400\) champignons.
4. Cinq heures correspondent à 300 minutes, soit \(n = 300 / 40 = 7,5\) périodes.
Calculons \(v_7 = 100 \times 2^7 = 12800\) et \(v_8 = 100 \times 2^8 = 25600\).
La valeur 18 000 se situe bien entre \(v_7\) et \(v_8\). Plus précisément, \(100 \times 2^{7,5} \approx 18 102\). Le modèle est donc très cohérent avec l'observation.