Analyse de l'exercice

Cet exercice de Première Enseignement Spécifique se divise en deux parties distinctes : le calcul de probabilités dans un contexte d'événements indépendants (schéma de Bernoulli) et l'étude d'une fonction exponentielle de base $a$ modélisant une croissance bactérienne. L'objectif est de vérifier la maîtrise des bases du dénombrement probabiliste et de l'analyse fonctionnelle élémentaire.

Points de vigilance

• Indépendance : Pour l'affirmation 1 et 2, il est crucial de se rappeler que pour deux événements indépendants $A$ et $B$, $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$.
• L'ordre en probabilité : Pour l'affirmation 2, l'expression 'exactement un' implique deux scénarios (le premier oui et le deuxième non, OU le premier non et le deuxième oui).
• Unités : Dans la partie 2, la fonction $f(t)$ renvoie des milliers de bactéries. Il ne faut pas confondre 1,5 (valeur de la fonction) avec 1500 (nombre réel de bactéries).

Correction détaillée

Question 1 : Soit $X$ la variable aléatoire comptant le nombre d'appels durant plus de 5 minutes. $X$ suit une loi binomiale $\mathcal{B}(2; 0,3)$.

• Affirmation 1 (VRAIE) : La probabilité que les deux appels durent plus de 5 minutes est $P(X=2) = 0,3 \times 0,3 = 0,09$.
• Affirmation 2 (FAUSSE) : La probabilité qu'un seul appel exactement dure plus de 5 minutes est $P(X=1) = \binom{2}{1} \times 0,3^1 \times 0,7^1 = 2 \times 0,21 = 0,42$. L'affirmation proposait 0,21, ce qui oublie le coefficient binomial (les deux ordres possibles).

Question 2 : Soit $f(t) = 1,1^t$.

• Affirmation 3 (VRAIE) : Une fonction de la forme $a^t$ avec $a > 1$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$. Ici $a = 1,1 > 1$, donc la fonction est croissante sur $[0 ; +\infty[$.
• Affirmation 4 (VRAIE) : À $t=2$, $f(2) = 1,1^2 = 1,21$. La concentration est donc de $1,21 \times 1000 = 1210$ bactéries par ml. Comme $1210 < 1500$, la concentration est bien inférieure au seuil.