Analyse de l'énoncé
Cet exercice de mathématiques de niveau Première Spécialité se concentre sur la modélisation d'un phénomène biologique (croissance bactérienne) à l'aide des suites numériques. L'énoncé introduit une croissance en pourcentage, ce qui oriente immédiatement vers l'utilisation d'une suite géométrique. La deuxième partie de l'exercice lie les mathématiques pures à l'informatique via un script Python, testant la capacité de l'élève à interpréter des boucles itératives et des résultats à grande échelle.
Points de vigilance et notions requises
- Coefficient multiplicateur : Il est crucial de savoir passer d'un taux d'évolution (augmentation de 15 %) à un coefficient multiplicateur ($1 + r = 1,15$).
- Forme explicite : La maîtrise de la formule $u_n = u_0 \times q^n$ est indispensable.
- Algorithmie : Savoir qu'une boucle
for i in range(N) effectue $N$ itérations et correspond ici au calcul de termes successifs. - Sens critique : Interpréter des résultats scientifiques (puissances de 10 élevées) dans un contexte réel.
Correction détaillée
1. Justification du terme général : Augmenter une valeur de 15 % revient à la multiplier par $1 + \frac{15}{100} = 1,15$. Si $u_n$ est la population à l'heure $n$, alors $u_{n+1} = u_n \times 1,15$. C'est la définition d'une suite géométrique de raison $q = 1,15$. On en déduit la forme explicite : $u_n = u_0 \times q^n = 10\,000 \times 1,15^n$.
2. Nature de la suite : Comme établi précédemment, $(u_n)$ est une suite géométrique de premier terme $u_0 = 10\,000$ et de raison $q = 1,15$.
3. Calcul à 10 heures : On calcule $u_{10} = 10\,000 \times 1,15^{10} \approx 40\,455,57$. Au bout de 10 heures, il y aura environ 40 456 bactéries.
4. Interprétation des résultats Python : La fonction calcule itérativement les termes de la suite. Le tableau montre une croissance extrêmement rapide (exponentielle). Pour $n=10\,000$, le nombre dépasse les capacités de représentation physique habituelles ($10^{307}$). Dans le contexte de l'exercice, cela signifie que sans limitation d'espace ou de ressources, la population devient virtuellement infinie, montrant les limites du modèle en milieu fermé.
5. Pourcentage de diminution : On utilise la formule du taux d'évolution : $t = \frac{V_f - V_i}{V_i}$. Ici, $V_i = 200\,000$ et $V_f = 4\,000$.
$t = \frac{4\,000 - 200\,000}{200\,000} = \frac{-196\,000}{200\,000} = -0,98$.
Le pourcentage de diminution est donc de 98 %.