Analyse de l'énoncé

Cet exercice se présente sous la forme d'un QCM (Questionnaire à Choix Multiples) composé de 5 questions indépendantes. Il est représentatif des épreuves communes de la spécialité mathématiques en classe de Première. Ce format balaie une large partie du programme : les suites numériques, la géométrie repérée, la trigonométrie, la dérivation (avec exponentielle) et l'étude des fonctions polynômes du second degré.

Points de vigilance et notions requises

• Suites : Il faut savoir manipuler les puissances pour transformer l'expression générale d'une suite et identifier sa nature (arithmétique ou géométrique).
• Géométrie repérée : La connaissance de la relation entre vecteur normal et équation cartésienne d'une droite (\(ax + by + c = 0\)) est indispensable.
• Trigonométrie : La maîtrise du cercle trigonométrique et des formules de symétrie (comme \(\cos(x+\pi) = -\cos(x)\)) est cruciale.
• Dérivation : Application de la formule du quotient \((u/v)' = (u'v - uv')/v^2\) avec la fonction exponentielle.
• Second degré : Savoir exploiter la forme canonique \(a(x-\alpha)^2 + \beta\) pour déterminer les variations, le sommet et les racines.

Correction détaillée

Question 1 : Réécrivons \(u_n\). \(u_n = 3 \times \frac{10^n}{2 \times 2^n} = \frac{3}{2} \times (\frac{10}{2})^n = 1,5 \times 5^n\). On reconnaît une suite géométrique de premier terme \(u_0 = 1,5\) et de raison \(q=5\). Réponse D.

Question 2 : Calculons les coordonnées du vecteur normal \(\vec{AB}(x_B - x_A ; y_B - y_A)\). \(\vec{AB}(2 - (-2) ; 4 - 1) = (4 ; 3)\). L'équation est de la forme \(4x + 3y + c = 0\). En passant par \(C(-1 ; 1)\) : \(4(-1) + 3(1) + c = 0 \Rightarrow -4 + 3 + c = 0 \Rightarrow c = 1\). L'équation est \(4x + 3y + 1 = 0\). Réponse B.

Question 3 : \(2\cos(x + \pi) + 1 = 0 \Leftrightarrow \cos(x + \pi) = -1/2\). Or \(\cos(x + \pi) = -\cos(x)\), donc \(-\cos(x) = -1/2\), soit \(\cos(x) = 1/2\). Sur l'intervalle \([0 ; \pi/2]\), la seule solution est \(x = \pi/3\). Réponse A.

Question 4 : \(f\) est de la forme \(u/v\) avec \(u(x)=e^x\) et \(v(x)=1+e^x\). \(f'(x) = \frac{e^x(1+e^x) - e^x(e^x)}{(1+e^x)^2} = \frac{e^x + e^{2x} - e^{2x}}{(1+e^x)^2} = \frac{e^x}{(1+e^x)^2}\). Réponse B.

Question 5 : La fonction est sous forme canonique avec \(a = -0,5\), \(\alpha = -2\) et \(\beta = 4,5\). Comme \(a < 0\), la parabole est tournée vers le bas (maximum en \(x = -2\)). Cherchons les racines : \(-0,5(x+2)^2 + 4,5 = 0 \Rightarrow (x+2)^2 = 9\). Donc \(x+2=3\) ou \(x+2=-3\), d'où \(x=1\) ou \(x=-5\). Le signe est négatif à l'extérieur des racines. Réponse C.