Analyse de l'énoncé
Cet exercice porte sur la modélisation d'une situation économique réelle (l'augmentation annuelle du prix d'un produit technologique) à l'aide des suites numériques. L'énoncé nous présente une croissance annuelle de 3 %, ce qui doit immédiatement orienter l'élève vers l'utilisation d'une suite géométrique. En effet, toute variation en pourcentage se traduit mathématiquement par l'application d'un coefficient multiplicateur. L'exercice se conclut par une application algorithmique en Python, une compétence essentielle du programme de Première Spécialité.
Points de vigilance et notions clés
- Coefficient multiplicateur : Une hausse de 3 % correspond à multiplier par $1 + \frac{3}{100} = 1,03$. C'est la raison $q$ de la suite.
- Nature de la suite : Pour justifier qu'une suite est géométrique, il faut établir la relation $u_{n+1} = u_n \times q$.
- Formule explicite : Ne pas confondre la forme récurrente ($u_{n+1}$ en fonction de $u_n$) et la forme explicite ($u_n$ en fonction de $n$), soit $u_n = u_0 \times q^n$.
- Algorithmique : La structure
while (boucle tant que) est utilisée pour les problèmes de seuil. La condition d'arrêt doit être soigneusement réfléchie (on continue tant que le seuil n'est pas dépassé).
Correction détaillée
1. Calcul de $u_1$ et $u_2$ :
Le prix initial est $u_0 = 600$.
$u_1 = 600 \times 1,03 = 618$. Cela signifie qu'un an après son lancement, le téléphone coûte 618 euros.
$u_2 = 618 \times 1,03 \approx 636,54$. Deux ans après, il coûte environ 636,54 euros.
2. Nature de la suite :
D'une année à l'autre, on multiplie le prix par 1,03. On a donc $u_{n+1} = 1,03 \times u_n$. La suite $(u_n)$ est donc une suite géométrique de raison $q = 1,03$ et de premier terme $u_0 = 600$.
3. Expression de $u_n$ en fonction de $n$ :
D'après le cours sur les suites géométriques, $u_n = u_0 \times q^n$, soit $u_n = 600 \times (1,03)^n$.
4. Complétion de l'algorithme Python :
Pour trouver quand le prix dépasse 1000 euros :
while u <= 1000: (on continue tant que le prix est inférieur ou égal à 1000)
n = n + 1
u = u * 1.03
5. Valeur de $n$ :
On cherche le plus petit entier $n$ tel que $600 \times 1,03^n > 1000$, soit $1,03^n > \frac{10}{6} \approx 1,667$.
Par tâtonnement ou à l'aide du logarithme (si vu) : $1,03^{17} \approx 1,65$ et $1,03^{18} \approx 1,70$. La fonction renvoie donc $n = 18$.