Introduction : Un panorama complet du programme de Première
Le sujet 1 de l'année 2020 pour la spécialité Mathématiques en classe de Première constitue un excellent support de révision. Il balaye des pans essentiels du programme : la géométrie vectorielle (produit scalaire), l'analyse de fonctions (dérivation et exponentielle), les suites numériques couplées à l'algorithmie Python, et enfin les probabilités conditionnelles. La difficulté est équilibrée, oscillant entre l'application directe de formules et l'interprétation de modèles concrets.
Exercice 1 : QCM sur le produit scalaire et la lecture graphique
Cet exercice de type QCM teste les fondamentaux de la géométrie et de l'analyse.
Notions clés : Les trois premières questions portent sur le produit scalaire (définition avec le cosinus, projection orthogonale et bilinéarité). Les deux dernières questions concernent la lecture graphique d'une dérivée.
Pièges à éviter : Dans la Question 4, ne confondez pas l'ordonnée du point \(A\) (\(f(5)=0\)) avec le coefficient directeur de la tangente (\(f'(5)\)). Pour la Question 5, observez bien le sens de variation de la courbe sur l'intervalle \(]-\infty ; 0]\) : si la fonction croît, sa dérivée est positive.
Conseils méthodologiques : Pour le produit scalaire, apprenez par cœur les différentes expressions (normes et angle, coordonnées, projection). En analyse, retenez que \(f'(a)\) est la pente de la droite tangente au point d'abscisse \(a\).
Exercice 2 : Application de la fonction Exponentielle
L'exercice porte sur une étude de bénéfice (résultat d'entreprise) modélisée par une fonction de la forme \(f(x) = (ax+b)e^{cx}\).
Notions clés : Étude de signe, dérivation d'un produit \(uv\), et recherche d'extremum.
Pièges à éviter : L'erreur classique réside dans l'unité des variables. Ici, \(x\) est en centaines de litres et \(R(x)\) en dizaines de milliers d'euros. Un résultat de \(R(x) = 2\) signifie \(20\,000\) euros.
Conseils méthodologiques : Pour trouver le maximum, utilisez la dérivée fournie par l'énoncé. Le signe de \(R'(x)\) dépend uniquement du facteur linéaire \((-1,25x + 12,5)\) car la fonction exponentielle est strictement positive. Résoudre \(R'(x) = 0\) vous donne l'abscisse du sommet de la courbe.
Exercice 3 : Suites numériques et Algorithmique Python
Cet exercice traite de l'évolution des ventes d'un hebdomadaire avec une progression géométrique.
Notions clés : Suite géométrique de raison \(q = 1,02\), somme des termes d'une suite, et boucle "While" en Python.
Pièges à éviter : Dans le programme Python, bien comprendre que la variable \(S\) accumule les ventes (somme) tandis que \(u\) représente les ventes de la semaine en cours. Ne confondez pas le calcul d'un terme avec le calcul de la somme cumulée.
Conseils méthodologiques : Pour calculer le nombre total d'exemplaires vendus en un an (\(n=52\)), utilisez la formule de la somme d'une suite géométrique : \(S = u_0 \times \frac{1-q^n}{1-q}\). Pensez à vérifier si l'indice de départ est \(u_0\) ou \(u_1\) pour le nombre de termes.
Exercice 4 : Probabilités conditionnelles
Un cas pratique sur les choix de transport (avion/train) et les options de voyage.
Notions clés : Arbre pondéré, probabilités d'intersections, formule des probabilités totales.
Pièges à éviter : L'énoncé donne \(P(A \cap V) = 0,12\). Ce n'est pas une probabilité conditionnelle (\(P_A(V)\)). Il faut bien lire la phrase : "12% des clients ont choisi à la fois l'avion et l'option".
Conseils méthodologiques : Construisez systématiquement un arbre pondéré pour visualiser les données. Pour la question 4, l'interrogation de deux clients de manière indépendante correspond à un schéma de Bernoulli (répétition d'expériences identiques). Multipliez simplement les probabilités individuelles.
Conclusion
Ce sujet 1 de 2020 est très représentatif des attendus de fin de Première. Il demande une bonne rigueur dans le calcul littéral et une capacité à interpréter des résultats mathématiques dans un contexte économique ou social. La maîtrise de la calculatrice pour les suites et les exponentielles est indispensable pour gagner en rapidité.