Analyse de l'énoncé
Cet exercice est un classique du programme de Première Spécialité Mathématiques, portant sur la modélisation de l'évolution d'une population (ici un stock d'ouvrages) à l'aide de suites numériques. Il mêle deux compétences clés : l'étude théorique d'une suite arithmético-géométrique et l'interprétation d'algorithmes Python (boucles bornées et non bornées).
Points de vigilance et notions requises
Pour réussir cet exercice, l'élève doit maîtriser les points suivants :
- Coefficient multiplicateur : Savoir qu'une baisse de 5 % correspond à une multiplication par 0,95.
- Suites arithmético-géométriques : Savoir utiliser une suite auxiliaire géométrique pour expliciter le terme général d'une suite de la forme \(u_{n+1} = au_n + b\).
- Algorithmique : Comprendre la différence entre une boucle
for (utilisée pour calculer un terme précis) et une boucle while (utilisée pour une recherche de seuil).
Correction détaillée
Partie A
1. Chaque année, le stock diminue de 5 % (multiplication par 0,95) et augmente de 6 000 ouvrages (ajout de 6 car \(u_n\) est exprimé en milliers). On a donc bien \(u_{n+1} = 0,95u_n + 6\) avec \(u_0 = 42\).
2. Ce programme Python calcule et renvoie la valeur du terme \(u_n\) de la suite. Il permet donc de connaître le nombre d'ouvrages (en milliers) au bout de \(n\) années.
Partie B
1. a. Montrons que \((w_n)\) est géométrique :
\(w_{n+1} = v_{n+1} - 80 = (0,95v_n + 4) - 80 = 0,95v_n - 76\).
En factorisant par 0,95 : \(w_{n+1} = 0,95(v_n - \frac{76}{0,95}) = 0,95(v_n - 80) = 0,95w_n\).
La suite \((w_n)\) est géométrique de raison \(q = 0,95\) et de premier terme \(w_0 = v_0 - 80 = 42 - 80 = -38\).
1. b. On en déduit \(w_n = w_0 \times q^n = -38 \times 0,95^n\).
Comme \(v_n = w_n + 80\), on a \(v_n = 80 - 38 \times 0,95^n\).
2. L'appel objet(70) cherche le plus petit entier \(n\) tel que \(v_n \geqslant 70\). Le résultat 27 signifie qu'au 1er janvier de l'année \(2020 + 27 = 2047\), la médiathèque comptera pour la première fois au moins 70 000 ouvrages.