Analyse de l'énoncé et thématiques abordées

Cet exercice extrait du sujet Amérique du Nord 2026 pour la spécialité mathématiques de Première traite de deux thèmes majeurs du programme : l'étude de fonctions (via une forme exponentielle) et les suites numériques couplées à l'algorithmie Python. La problématique est ancrée dans le réel : la rentabilité d'une installation de panneaux solaires.

Partie A : Lecture graphique et fonction exponentielle

La première partie repose sur l'analyse d'une courbe représentative d'une fonction de type gaussien (f(x) = a * exp(b(x-c)²)). Les élèves doivent mobiliser leurs compétences en lecture graphique :

• Image d'un nombre : À 11h (abscisse 11), on cherche l'ordonnée correspondante. Sur le graphique, on lit environ 6 kW.
• Résolution d'inéquation : Pour $f(x) \geqslant 5$, on trace la droite horizontale y = 5 et on observe l'intervalle des abscisses où la courbe est au-dessus. Graphiquement, cela correspond environ à l'intervalle $[10 ; 16]$.
• Interprétation : La puissance produite par les panneaux est supérieure ou égale à 5 kW entre 10h00 et 16h00.

Partie B : Suites géométriques et Python

La seconde partie modélise l'évolution du prix de l'électricité et l'amortissement financier.

1. Nature de la suite : Une augmentation de 6 % correspond à un coefficient multiplicateur de $1 + 0,06 = 1,06$. La suite $(c_n)$ est donc une suite géométrique de premier terme $c_0 = 0,15$ et de raison $q = 1,06$.

2. Expression générale : Pour une suite géométrique, la formule est $c_n = c_0 \times q^n$. Ici, $c_n = 0,15 \times 1,06^n$.

3. Calcul pour 2030 : L'année 2030 correspond à $n = 10$ (puisque $2020+10$). Le calcul est $0,15 \times 1,06^{10}$.

Focus sur l'algorithme Python

Le script Python utilise une boucle while pour calculer la somme des économies réalisées chaque année.

• c représente le prix du kWh pour l'année n.
• S représente le cumul des économies financières réalisées depuis l'installation.

L'affichage du résultat 16 signifie que la condition S < 7000 cesse d'être vraie pour $n=16$. Autrement dit, l'investissement de 7000 € sera rentabilisé après 16 ans, soit au cours de l'année 2036.

Points de vigilance pour les élèves

Il est crucial de ne pas confondre la valeur d'un terme ($c_n$) avec la somme cumulée ($S$). En algorithmique, l'ordre des instructions dans la boucle est primordial : ici, on ajoute d'abord l'économie de l'année en cours avant d'incrémenter le prix pour l'année suivante. Veillez également à bien justifier le coefficient multiplicateur 1,06 lors du passage à une suite géométrique.