Analyse de l'énoncé

Cet exercice de Première Spécialité Mathématiques porte sur l'optimisation géométrique. L'objectif principal est de déterminer le point d'une courbe (ici la fonction racine carrée) le plus proche d'un point fixe \(A(2;0)\). Ce problème classique mêle l'étude de fonctions du second degré, le calcul de distances dans un repère orthonormé, et les propriétés géométriques de la tangente (orthogonalité). Il permet de réviser la liaison entre le minimum d'une fonction et les propriétés locales d'une courbe.

Points de vigilance et notions requises

• Liaison \(AM\) et \(AM^2\) : Pour trouver le minimum d'une distance \(AM\), on étudie souvent son carré \(AM^2\) pour supprimer la racine carrée de la formule de distance. Comme la fonction carré est croissante sur \(\mathbb{R}^+\), le minimum est atteint pour la même valeur de \(x\).
• Dérivation du second degré : Savoir dériver \(ax^2 + bx + c\) et trouver son extremum (le sommet de la parabole).
• Orthogonalité : Utiliser le produit scalaire ou le produit des coefficients directeurs (égal à -1) pour prouver une perpendicularité entre une tangente et un rayon.

Correction détaillée

1. Variations de \(f\) : La fonction \(f\) est un polynôme du second degré avec \(a=1, b=-3, c=4\). Sa dérivée est \(f'(x) = 2x - 3\). \(f'(x) = 0 \iff x = 1,5\). Comme \(a > 0\), la fonction est décroissante sur \([0 ; 1,5]\) et croissante sur \([1,5 ; +\infty[\).

2. a. Expression de \(y\) : Si \(M \in \mathcal{C}\), alors ses coordonnées sont \((x ; \sqrt{x})\).

2. b. Calcul de \(AM^2\) : \(AM^2 = (x_M - x_A)^2 + (y_M - y_A)^2 = (x - 2)^2 + (\sqrt{x} - 0)^2\).
En développant : \(AM^2 = x^2 - 4x + 4 + x = x^2 - 3x + 4\). On retrouve bien \(f(x)\).

2. c. Point le plus proche : Le point \(B\) est celui qui minimise la distance \(AM\), donc celui qui minimise \(f(x)\). D'après la question 1, le minimum est atteint pour \(x = 1,5\). Or \(y = \sqrt{1,5}\). Donc \(B(1,5 ; \sqrt{1,5})\).

2. d. Tangente et perpendicularité : Soit \(g(x) = \sqrt{x}\). Le coefficient directeur de la tangente en \(B\) est \(g'(1,5) = \frac{1}{2\sqrt{1,5}}\).
Le vecteur \(\vec{AB}\) a pour coordonnées \((1,5 - 2 ; \sqrt{1,5} - 0) = (-0,5 ; \sqrt{1,5})\).
Le coefficient directeur de la droite \((AB)\) est \(m_{AB} = \frac{\sqrt{1,5}}{-0,5} = -2\sqrt{1,5}\).
Produit des coefficients : \(\frac{1}{2\sqrt{1,5}} \times (-2\sqrt{1,5}) = -1\).
Le produit vaut -1, donc la tangente et le segment sont perpendiculaires. L'élève a raison.