Introduction au Sujet 63 - Première Spécialité Mathématiques

Le sujet 63 de l'année 2020 pour la spécialité mathématiques en classe de Première constitue un excellent support de révision. Il balaie un spectre très large du programme, allant de l'analyse fonctionnelle aux probabilités, en passant par les suites numériques et la géométrie. La structure est classique : un QCM de démarrage pour tester les automatismes, suivi de trois exercices d'application concrète. La difficulté est jugée modérée, mais elle exige une grande rigueur dans l'application des formules fondamentales.

Exercice 1 : Un QCM de Balayage des Fondamentaux

L'exercice 1 est un Questionnaire à Choix Multiples (QCM) qui ne pardonne pas l'imprécision. Notions clés : Forme canonique du second degré, vecteurs directeurs de droites, produit scalaire en repère orthonormé, dérivation de fonctions composées avec l'exponentielle et formules trigonométriques.
Pièges à éviter : - À la question 1, beaucoup d'élèves cherchent à développer la forme canonique. Or, avec $f(x) = 3(x + 2)^2 + 5$, on voit immédiatement que le coefficient $a=3$ est positif et que le minimum est 5. La courbe ne traverse jamais l'axe des abscisses, donc le discriminant $\Delta$ est strictement négatif. - À la question 4, attention à la règle de dérivation du produit $(uv)' = u'v + uv'$. Oublier le $u'v$ est l'erreur la plus fréquente.
Conseil méthodologique : Utilisez le brouillon pour de petits schémas (cercle trigonométrique, allure de parabole) afin de valider vos intuitions rapidement.

Exercice 2 : Suites Numériques et Modélisation Python

Cet exercice traite de l'évolution du volume d'une piscine. C'est un grand classique de la modélisation par les suites. Notions clés : Suites géométriques, taux d'évolution et algorithmique Python.
Analyse : La perte de 4% correspond à un coefficient multiplicateur de $0,96$. La suite est donc géométrique de raison $q = 0,96$. L'expression générale $V_n = V_0 \times q^n$ est ici indispensable.
Focus Python : La partie algorithmique demande de compléter une boucle while. L'astuce réside dans la condition d'arrêt. Si l'on cherche quand le volume devient inférieur à 70, la boucle doit continuer tant que le volume est supérieur ou égal à 70 (V >= 70).
Conseil : Ne confondez pas le rang $n$ et la valeur du terme $V_n$ dans l'écriture de votre script.

Exercice 3 : Probabilités Conditionnelles et Espérance

L'exercice 3 nous plonge dans le milieu commercial (ventes de nappes et serviettes). Notions clés : Arbre pondéré, probabilités totales, probabilités conditionnelles et variables aléatoires.
Analyse : La construction de l'arbre est l'étape cruciale. Une fois les branches complétées (en n'oubliant pas que la somme des probabilités issues d'un même nœud vaut 1), le calcul de $P(S)$ se fait via la formule des probabilités totales : $P(S) = P(N \cap S) + P(\overline{N} \cap S)$.
Variable Aléatoire : L'espérance $E(D)$ représente la dépense moyenne par client sur un grand nombre de transactions. C'est un indicateur de performance pour l'entreprise.
Conseil : Pour le calcul de la probabilité sachant que ($P_S(N)$), utilisez bien la formule $P(N \cap S) / P(S)$.

Exercice 4 : Analyse de Fonction et Exponentielle

Le dernier exercice porte sur l'étude d'une concentration de polluant modélisée par $P(t) = 100te^{-t}$. Notions clés : Étude de signe de la dérivée, tableau de variations, maximum d'une fonction et lecture graphique.
Analyse : La dérivée est fournie ($P'(t) = 100(1-t)e^{-t}$). Puisque l'exponentielle est toujours positive, le signe de $P'(t)$ dépend uniquement de $(1-t)$. La fonction croît jusqu'à $t=1$ puis décroît.
Interprétation : Le maximum est atteint à 1 heure. La question finale demande de résoudre graphiquement ou par calcul l'inéquation $P(t) \le 5$. Graphiquement, on cherche l'abscisse du point de la courbe qui redescend sous la barre des 5 mg/L.
Conseil : Soignez la rédaction du tableau de variations, car il justifie l'existence du maximum.

Conclusion

Ce sujet 63 est complet et représentatif des attendus de fin de Première. Il combine l'aisance calculatoire (dérivées, produit scalaire) et la capacité d'analyse de documents (Python, graphiques de pollution). Le maîtriser, c'est s'assurer une base solide pour la classe de Terminale Spécialité Mathématiques.