Introduction : Un sujet équilibré pour la Spécialité Mathématiques

Le sujet 36 de l'année 2020 pour la Première Spécialité Mathématiques est un excellent support de révision car il balaie un spectre très large du programme officiel. Avec quatre exercices de 5 points chacun, il permet d'évaluer tant les compétences techniques (calcul de produit scalaire, dérivation) que les compétences algorithmiques et de modélisation. La difficulté globale est jugée intermédiaire, idéale pour tester la consolidation des acquis de fin d'année.

Exercice 1 : Le QCM de balayage

Cet exercice de type QCM ne demande pas de justification, mais nécessite une grande rigueur sur le brouillon. Les notions abordées sont :

• Géométrie repérée : La détermination d'un vecteur normal à partir d'une équation cartésienne $ax + by + c = 0$. Rappelons que le vecteur $\vec{n}(a;b)$ est normal à la droite.
• Équation de cercle : Savoir passer de la forme développée à la forme canonique $(x-x_A)^2 + (y-y_A)^2 = R^2$ pour identifier le centre et le rayon.
• Suites : Le calcul d'une somme de termes consécutifs d'une suite arithmétique. La formule $\text{Nombre de termes} \times \frac{\text{Premier} + \text{Dernier}}{2}$ est indispensable.
• Analyse : Dérivation d'une fonction de la forme $u \times v$ impliquant la fonction Exponentielle.
• Probabilités conditionnelles : Lecture et exploitation d'un arbre pondéré (formule des probabilités totales).

Piège à éviter : Dans la question sur le cercle, attention à ne pas confondre $R$ et $R^2$. Dans la dérivation, n'oubliez pas que $(e^x)' = e^x$.

Exercice 2 : Produit scalaire et Géométrie du triangle

Cet exercice se concentre sur l'outil Produit scalaire. La première partie guide l'élève vers le calcul d'un angle grâce à la double définition du produit scalaire (analytique avec les coordonnées et géométrique avec le cosinus).

La seconde partie est plus technique : elle demande de déterminer les coordonnées du projeté orthogonal (le point H). Cela nécessite de traduire deux conditions géométriques en un système d'équations : l'appartenance de H à la droite (AB) et l'orthogonalité des vecteurs $\vec{CH}$ et $\vec{AB}$.

Conseil méthodologique : Toujours vérifier la cohérence de vos résultats. Si vous trouvez un cosinus supérieur à 1 ou inférieur à -1, une erreur de calcul de norme s'est glissée dans votre raisonnement.

Exercice 3 : Suites numériques et Algorithmie Python

On traite ici d'une problématique de scolarisation modélisée par une suite géométrique. La diminution de 1% se traduit par un coefficient multiplicateur de $0,99$.

L'aspect Python est central. L'élève doit comprendre le fonctionnement d'une boucle while (Tant que). Le programme cherche le rang $n$ à partir duquel le taux passe sous la barre des 80%. C'est une question classique de type "seuil".

Notions clés : Expression du terme général $u_n = u_0 \times q^n$ et utilisation de la calculatrice pour trouver le rang $n$ si le logarithme n'a pas encore été étudié.

Exercice 4 : Analyse de fonction polynôme de degré 3

L'exercice final porte sur l'étude d'une fonction Polynôme. La démarche est classique mais exigeante :

1. Calcul de la dérivée $f'(x)$. Ici, on obtient un trinôme du second degré.
2. Étude du signe de la dérivée via le calcul du discriminant $\Delta$.
3. Construction du tableau de variations complet (incluant les images aux bornes).
4. Étude de la tangente : il faut utiliser la formule $y = f'(a)(x-a) + f(a)$.

La question 4.b est plus originale : pour montrer qu'une tangente recoupe la courbe, il faut résoudre l'équation $f(x) = y_{\text{tangente}}$. Comme on sait que le point d'abscisse 0 est déjà solution (point de contact), la factorisation du polynôme résultant est simplifiée.

Conclusion

Ce sujet 36 est complet. Il demande une bonne gestion du temps et une maîtrise des outils de calcul (systèmes, discriminant, dérivées usuelles). Pour réussir, un élève de Première doit particulièrement soigner la rédaction des justifications dans les exercices 2 et 4, là où le QCM ne le permettait pas.