Analyse de l'énoncé

Cet exercice se présente sous la forme d'un Questionnaire à Choix Multiples (QCM) issu des épreuves de spécialité mathématiques de Première. Il balaye trois pans fondamentaux du programme : la géométrie analytique (équations de droites et vecteurs normaux), le produit scalaire et la trigonométrie. L'objectif est d'évaluer la rapidité d'exécution et la maîtrise des formules de base.

Points de vigilance et notions de cours

• Géométrie repérée : Savoir passer de l'équation réduite \(y = mx + p\) à l'équation cartésienne \(ax + by + c = 0\) pour identifier un vecteur normal \(\vec{n}(a; b)\).
• Produit scalaire : Utiliser le repérage ou la projection orthogonale. Dans un carré, le choix d'un repère orthonormé est souvent la méthode la plus fiable.
• Trigonométrie : Maîtriser la mesure principale d'un angle (modulo \(2\pi\)) et la relation fondamentale \(\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1\). Attention au signe du cosinus selon l'intervalle considéré !

Correction détaillée

Question 1 : Calculons d'abord le coefficient directeur \(m\) de la droite (EF). \(m = \frac{y_F - y_E}{x_F - x_E} = \frac{2 - (-4)}{7 - 3} = \frac{6}{4} = 1,5\). L'équation de la droite est de la forme \(y = 1,5x + p\). En utilisant E(3; -4) : \(-4 = 1,5 \times 3 + p \implies -4 = 4,5 + p \implies p = -8,5\). L'équation est donc \(y = 1,5x - 8,5\). Testons le point C(13; 11) : \(1,5 \times 13 - 8,5 = 19,5 - 8,5 = 11\). Réponse c.

Question 2 : L'équation réduite \(y = -2x + 4\) est équivalente à l'équation cartésienne \(2x + 1y - 4 = 0\). Un vecteur normal est \(\vec{n}(a; b)\), soit \(\vec{n}(2; 1)\). Réponse a.

Question 3 : Plaçons-nous dans le repère \((A; \frac{1}{6}\vec{AB}, \frac{1}{6}\vec{AD})\). On a \(A(0; 0)\), \(D(0; 6)\), \(B(6; 0)\) et \(C(6; 6)\). Comme I est le milieu de [BC], ses coordonnées sont \((6; 3)\). On a alors \(\vec{AD}(0; 6)\) et \(\vec{AI}(6; 3)\). Le produit scalaire vaut : \(x_{\vec{AD}}x_{\vec{AI}} + y_{\vec{AD}}y_{\vec{AI}} = 0 \times 6 + 6 \times 3 = 18\). Réponse b.

Question 4 : On cherche la mesure principale de \(\frac{14\pi}{3}\). \(\frac{14\pi}{3} = \frac{12\pi + 2\pi}{3} = 4\pi + \frac{2\pi}{3}\). L'angle correspond donc à \(\frac{2\pi}{3}\) radians (\(120^\circ\)). Sur le cercle, cela correspond au point F. Réponse b.

Question 5 : On sait que \(\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1\). Donc \(\cos^2(x) + (0,8)^2 = 1 \implies \cos^2(x) = 1 - 0,64 = 0,36\). Ainsi, \(\cos(x) = 0,6\) ou \(\cos(x) = -0,6\). Comme \(x \in [\frac{\pi}{2}; \pi]\), le cosinus doit être négatif. Donc \(\cos(x) = -0,6\). Réponse b.