Un exercice de mécanique sur l'éruption de la montagne Pelée

Ce premier exercice du Bac S Amérique du Nord 2012, noté sur 5 points, part d'un fait historique : l'éruption de la montagne Pelée en 1902, qui a projeté des blocs de roche loin du cratère. Il s'agit d'un exercice classique de mouvement dans un champ de pesanteur uniforme, découpé en trois parties : la mise en équation générale, le cas d'un lancer vertical, puis le cas d'un lancer oblique avec une étude énergétique et une lecture de courbes. Compte environ 1 h 05 pour le traiter.

Partie 1 : chute libre et équations horaires

La question 1.1 demande pourquoi le bloc est en chute libre : on néglige la poussée d'Archimède et les frottements de l'air, il n'est donc soumis qu'à son poids. Retiens que chute libre ne signifie pas chute verticale : une trajectoire parabolique reste une chute libre. La question 1.2 applique la deuxième loi de Newton au système {bloc} dans le référentiel terrestre supposé galiléen, ce qui donne a = g, soit a_x = 0 et a_z = -g. Le signe est le premier piège : l'axe Oz est orienté vers le haut, g vers le bas. Les questions 1.3 et 1.4 enchaînent deux intégrations ; chaque constante se fixe avec la condition initiale, en projetant le vecteur vitesse initiale sur les axes grâce à un schéma.

Partie 2 : le lancer vertical

Avec un angle de 90°, x(t) reste nul et la trajectoire est rectiligne verticale. Au sommet, la vitesse verticale s'annule, ce qui donne la date t_S = v₀₁/g. En reportant cette date dans z(t), on montre que v₀₁ = √(2gh). Pour h = 400 m et g = 9,8 m/s², on trouve environ 89 m/s, avec deux chiffres significatifs comme la donnée la moins précise. Cette méthode, annuler v_z puis reporter la date, est à connaître par cœur.

Partie 3 : trajectoire parabolique et énergie

La question 3.1.1 demande l'équation de la trajectoire : on isole t dans x(t) et on le remplace dans z(t). On obtient un polynôme du second degré en x, donc une parabole tournée vers le bas. La question 3.1.2 est la plus délicate : le point d'impact A est situé 800 m plus bas que O, donc z_A = -800 m. Avec le bon signe, on trouve v₀₂ ≈ 1,1 × 10² m/s, en accord avec la valeur du texte ; avec le mauvais, on obtient environ 184 m/s.

L'étude énergétique donne une énergie cinétique initiale de 3,0 × 10⁶ J pour un bloc de 500 kg. Au sommet C, attention : la vitesse n'est pas nulle, seule sa composante verticale l'est. L'énergie cinétique vaut alors 1,6 × 10⁶ J et, par conservation de l'énergie mécanique, l'énergie potentielle 1,4 × 10⁶ J, d'où une altitude maximale d'environ 2,9 × 10² m. Enfin, il faut identifier la droite x(t) et la parabole z(t) sur l'annexe, puis lire la date du sommet (environ 7,7 s) sur l'une pour la reporter sur l'autre : x_C ≈ 6 × 10² m.

Conseils pour réussir

Fais un schéma avec les axes et le vecteur vitesse initiale avant toute projection. Garde les valeurs non arrondies en mémoire dans les calculs enchaînés, et laisse les tracés de lecture apparents sur l'annexe rendue. Le corrigé détaillé reprend chaque question avec la rédaction attendue, les pièges de signe et les vérifications par le calcul.