Mesurer la masse de Jupiter et du Soleil grâce aux lois de Kepler

L'exercice 3 du jour 2 du bac 2022 de physique-chimie Centres étrangers 1, noté sur 5 points, correspond à l'exercice B du sujet officiel, l'un des trois exercices au choix. Il faut compter environ 53 minutes. À partir des périodes et des distances de quatre satellites de Jupiter, on retrouve la troisième loi de Kepler, on la démontre avec la deuxième loi de Newton, puis on l'exploite pour calculer la masse de Jupiter et celle du Soleil. C'est un exercice de mécanique très classique, qui récompense une démonstration bien rédigée.

Lire la troisième loi de Kepler sur un graphique

Les quatre points de la figure 1 sont alignés sur une droite qui passe par l'origine : T² est proportionnel à a³. Les deux arguments, droite et passage par l'origine, sont attendus pour conclure à une proportionnalité. La loi correspondante est la troisième loi de Kepler, ou loi des périodes.

Représenter la vitesse et la force

Le vecteur vitesse part du satellite, tangent à la trajectoire et orienté dans le sens du mouvement. La force de gravitation part aussi du satellite et pointe vers Jupiter : elle est attractive. La dessiner à partir de Jupiter, ou vers l'extérieur, fait perdre les points. Son expression s'écrit G·m·M/r² selon le vecteur normal, sans signe moins puisque ce vecteur pointe vers Jupiter.

Deuxième loi de Newton et repère de Frenet

La démonstration suit trois étapes : définir le système et le référentiel supposé galiléen, appliquer la deuxième loi de Newton, puis écrire l'accélération dans le repère de Frenet. L'identification selon le vecteur normal donne la vitesse, racine de G·M/r ; selon le vecteur tangent, la dérivée de la vitesse est nulle et le mouvement est uniforme. La masse du satellite se simplifie. Ensuite, la période est la durée pour parcourir le périmètre de l'orbite, ce qui conduit à T²/r³ = 4π²/(G·M). Il ne faut pas oublier de préciser que, pour une orbite circulaire, le demi-grand axe est égal au rayon.

Calculer la masse de Jupiter

Le coefficient directeur de la droite vaut 4π²/(G·M). On le détermine à partir d'un point de la droite modèle, loin de l'origine : pour a³ = 0,50 × 10¹⁹ km³, on lit T² = 210 j². Le coefficient vaut 4,2 × 10⁻¹⁷ j²·km⁻³, qu'il faut absolument convertir en unités SI avec le facteur 7,46 fourni, soit 3,1 × 10⁻¹⁶ s²·m⁻³. On obtient une masse de 1,9 × 10²⁷ kg, en accord avec la valeur tabulée, avec un écart inférieur à 1 %. Deux chiffres significatifs suffisent, car la lecture graphique limite la précision.

Question ouverte : la masse du Soleil

La relation démontrée s'applique à tout corps en orbite autour d'un astre central. On l'écrit pour la Terre autour du Soleil, avec une distance de 150 millions de kilomètres et une période connue de 365,25 jours. Après conversion en mètres et en secondes, on trouve environ 2,01 × 10³⁰ kg. Le cube et le carré amplifient toute erreur d'unité : c'est le piège principal de cette question.

Conseils

Pour réussir cet exercice, apprenez la démonstration de la troisième loi de Kepler jusqu'à pouvoir la refaire sans hésitation, avec un schéma clair du repère de Frenet. Dans une question ouverte, annoncez toujours la relation utilisée, le corps choisi et les données apportées de mémoire, puis menez le calcul en unités SI.