Mesurer la masse d'un trou noir avec la mécanique de Newton

L'exercice 3 du bac 2026 Polynésie Jour 1 vaut 6 points, soit environ 1 h 03. Il suit l'étoile S2, en orbite autour de SgrA*, le trou noir situé au centre de notre galaxie, et conduit à estimer sa masse. C'est un exercice de mécanique céleste complet : lois de Kepler, deuxième loi de Newton, repère de Frenet et mouvement circulaire uniforme. La démarche est très guidée, ce qui en fait un bon entraînement pour le chapitre sur les satellites.

Partie 1 : l'orbite elliptique de S2

Question 1 : la deuxième loi de Kepler

Il faut expliquer pourquoi S2 va plus vite en 2002 qu'en 1993. Le raisonnement attendu passe par la loi des aires : en 2002, l'étoile est au plus près du foyer, le rayon vecteur est court ; pour balayer la même aire pendant la même durée, elle doit parcourir un arc plus long. Se contenter de « plus proche donc plus rapide » ne suffit pas.

Question 2 : lire la période sur la figure

Le passage d'une extrémité du grand axe à l'autre dure une demi-période. L'extrémité la plus éloignée se situe vers 1992,5 et la plus proche est atteinte en 2002 : T/2 vaut environ 9,5 ans, d'où T de l'ordre de 19 ans. Le piège est de soustraire la première date relevée de la dernière, ce qui ne couvre qu'environ la moitié de l'ellipse.

Partie 2 : le modèle de l'orbite circulaire

Question 3 : la deuxième loi de Newton

On définit le système (l'étoile fictive S_f), le référentiel supposé galiléen, puis la seule force, gravitationnelle. On obtient a = GM/r² selon le vecteur u_n. Attention au signe : sur la figure, u_n pointe vers SgrA*, il n'y a donc pas de signe moins. La masse de l'étoile se simplifie.

Question 4 : représenter les vecteurs

Le vecteur vitesse est tangent à la trajectoire, dans le sens du mouvement ; le vecteur accélération est dirigé vers SgrA*. Les deux partent du point S_f et sont perpendiculaires.

Questions 5 et 6 : mouvement uniforme et vitesse

Dans la base de Frenet, l'accélération s'écrit dv/dt selon u_t plus v²/r selon u_n. Par identification, la composante tangentielle est nulle : la vitesse est constante, le mouvement est circulaire uniforme. Dire que le vecteur accélération est constant serait faux, puisqu'il change de direction. Selon u_n, on obtient v = √(GM/r).

Question 7 : retrouver la troisième loi de Kepler

Pendant une période, l'étoile parcourt le périmètre 2πr à la vitesse v : T = 2πr/v. En élevant au carré, on obtient T²/r³ = 4π²/(GM). L'oubli du carré sur 2π est une erreur courante.

Partie 3 : la masse de SgrA*

Question 8 : calcul et comparaison

On isole M = 4π²r³/(GT²). Les conversions sont décisives : r passe de kilomètres en mètres et T d'années en secondes, car G est en unités SI. On trouve M = 8,7 × 10³⁶ kg, soit environ 4,4 millions de masses solaires, en accord avec la valeur de l'article. Pour comparer, il faut exprimer le résultat dans la même unité que l'article.

Conseils pour cet exercice

Retenez la méthode en trois temps : deuxième loi de Newton, accélération dans la base de Frenet, identification. Elle sert à chaque exercice sur les orbites circulaires. Vérifiez les unités avant le calcul final : une erreur sur r est multipliée par 10⁹ à cause du cube. Enfin, gardez deux chiffres significatifs, puisque la période n'en a que deux.