Une lampe de poche sans pile
Ce troisième exercice du bac S 2012 au Liban, noté sur 4 points, s'appuie sur une lampe que l'on recharge en la secouant. L'énergie est stockée dans un condensateur de capacité 1,0 F, puis restituée à une diode électroluminescente. C'est un exercice complet sur le dipôle RC, avec une partie énergétique et une réflexion sur le rôle de la diode.
Partie 1 : la décharge du condensateur
L'équation différentielle s'établit avec trois outils : la loi d'additivité des tensions, la loi d'Ohm et la relation i = C duC/dt. En divisant par RC, on obtient duC/dt + uC/τ = 0 avec τ = RC. Le signe de l'intensité dépend de l'orientation choisie sur le schéma : pendant la décharge, i est ici négatif. L'analyse dimensionnelle part de u = Ri, q = Cu et q = iΔt pour montrer que RC est homogène à un temps.
Pour vérifier que U0e−t/τ est solution, on dérive sans oublier le facteur −1/τ, on remplace dans l'équation et on contrôle la condition initiale. À t = 5τ, la tension ne vaut plus que e−5, soit environ 0,7 % de sa valeur initiale : la décharge est considérée comme quasi complète. Avec une durée de décharge de vingt minutes, τ vaut 240 s et la résistance à associer est R = 2,4 × 102 Ω. Deux pièges : convertir les minutes en secondes et ne pas confondre τ avec 5τ.
Partie 2 : bilan énergétique
Secouer la lampe convertit de l'énergie mécanique en énergie électrique ; aucune réaction chimique n'intervient, ce qui élimine les propositions faisant appel à une pile. L'énergie stockée vaut E = ½CuC2. À la fin de la charge, sous 3,6 V, elle atteint 6,5 J, en dessous des 12 J annoncés par le constructeur. Avec une perte de 8 mJ par heure, cette énergie disparaît en environ 8,1 × 102 h, soit à peu près cinq semaines : après plusieurs semaines sans usage, il faut secouer la lampe de nouveau.
Partie 3 : le rôle de la DEL
La diode se branche en série avec R, dans le sens passant du courant de décharge, qui sort de l'armature positive. Une diode montée à l'envers bloquerait tout courant. Comme la DEL ne conduit qu'au-dessus de sa tension de seuil de 3,0 V, le courant s'arrête dès que uC descend à cette valeur : le condensateur garde alors 4,5 J, l'essentiel de l'énergie stockée. La présence de la diode allonge aussi la durée de passage de 3,6 V à 3,0 V, car la résistance totale du circuit augmente. Pour décharger complètement le condensateur, il faut court-circuiter soit le condensateur, soit la diode ; inverser la diode ou augmenter R ne convient pas.
Conseils pour réussir
Dans les questions à choix, justifiez aussi le rejet des propositions écartées. Soignez les conversions d'unités, gardez deux chiffres significatifs et vérifiez chaque dérivée d'exponentielle : ce sont les erreurs qui coûtent le plus de points dans ce type d'exercice.