Le projet AmpaCity : pourquoi un câble supraconducteur
L'exercice de spécialité du Bac S 2015 Amérique du Nord, noté sur 5 points, remplaçait l'exercice 3 pour les candidats spécialistes. Il s'appuie sur le projet AmpaCity, un câble supraconducteur d'un kilomètre qui transporte une puissance de 40 MW sous une tension de 10 kV. Les deux questions sont ouvertes : il faut construire seul la démarche, choisir les données utiles dans les documents et poser des hypothèses. C'est l'exemple type de la résolution de problème, où la qualité du raisonnement compte autant que le résultat.
Estimer la durée avant fusion (question 1)
Il s'agit d'imaginer un câble en cuivre de même dimension parcouru par le même courant. L'idée directrice est de traduire la question en une égalité : le cuivre commence à fondre lorsque l'énergie dissipée par effet Joule, PJ·Δt, égale la variation d'énergie interne nécessaire pour le porter de la température ambiante à sa température de fusion de 1356 K. Les hypothèses doivent être écrites : seul le cuivre s'échauffe, aucune énergie n'est cédée à l'isolant ni à l'air, la température initiale vaut 293 K, la résistivité et la capacité thermique ne dépendent pas de la température.
Le calcul s'enchaîne ensuite. L'intensité vaut I = P/U = 4,0 × 10³ A. Le rayon du conducteur se lit sur la photographie de la coupe, par comparaison avec la cote de 50 mm : le diamètre du cuivre mesure environ 22 mm, soit un rayon de 11 mm. La résistance R = ρL/(πr²) vaut alors environ 4,5 × 10⁻² Ω et la puissance dissipée R·I² environ 7,2 × 10⁵ W. La masse de cuivre, environ 3,4 × 10³ kg, conduit à une énergie d'environ 1,4 × 10⁹ J. La durée cherchée est de l'ordre de 2,0 × 10³ s, soit une demi-heure environ. Le piège principal est de prendre 25 mm pour le rayon du cuivre : 50 mm est le diamètre du câble entier, gaines comprises. Il faut aussi convertir le kilomètre, les mégawatts et les millimètres en unités du Système international.
L'intérêt de la supraconductivité (question 2)
La courbe fournie montre que la résistance du supraconducteur est nulle en dessous de la température critique TC. L'effet Joule disparaît donc : pas d'échauffement et pas de pertes pendant le transport. Pour mesurer l'enjeu, on réutilise la question 1 : un câble en cuivre de même diamètre fondrait en une demi-heure environ et dissiperait près de 1,8 % de la puissance transportée sur un seul kilomètre. Le supraconducteur permet ainsi de transporter une forte puissance sous tension modérée dans un câble de faible section, sans ligne à très haute tension en pleine ville. Une discussion complète cite aussi la limite : il faut refroidir le câble en permanence sous TC, ce qui consomme de l'énergie.
Conseils pour la résolution de problème
Annoncez la démarche avant de calculer, listez les grandeurs manquantes et leur source, gardez les valeurs non arrondies dans la calculatrice et concluez par un ordre de grandeur commenté. Le verbe « discuter » attend un argument chiffré, l'exploitation du document et au moins une limite.